波動率的「長記憶」大多是假象：市場變盤如何騙過統計模型

高波動之後常常還是高波動，低波動之後也常常還是低波動。看過盤的人都有這個直覺：波動會賴著不走。學術上給這個現象一個名字，叫「長記憶」。

「長記憶」的意思是，今天波動的高低，對很久以後還留著影響力，衰退得很慢。量化的方式是估一個叫 d 的參數，d 越接近 0.5，代表這種慣性越強。在日頻資料上估出來的 d 常常落在 0.4 到 0.6，看起來波動的記性很好。

這次分析想問一件很簡單的事：這個記性是真的，還是被別的東西假裝出來的。答案偏向後者。六個「資產 × 波動代理」的格子裡，五格判定為假象，一格是真假參半。

一個長得幾乎一樣的冒牌貨

能製造出「長記憶」外觀的，不只長記憶本身。另一個機制叫「水準位移」，指的是波動的平均水位整段跳一次，然後停在新的高度一陣子。金融海嘯、COVID、升息循環，都會讓市場的常態波動水準換一個檔位。

把幾段水位不同的資料接起來，再用長記憶的尺去量，尺會誤讀。它看到資料「很久都維持在偏高的地方」，就以為是慣性造成的，其實只是中間換過幾次水位。這就像把好幾段不同海拔的路接成一條，再說「這條路一路緩慢下坡」，實際上是每隔一段就出現一個台階。

分辨這兩者，商業上跟科學上都有差。假設波動有真長記憶，就會偏好 ARFIMA 這類把分數整合寫死的模型；把它當成「短記憶加上偶爾換水位」，用的又是另一套工具。選錯，預測就建在錯的地基上。

怎麼拆穿它

流程分三步。先在三種頻寬下估出 d。再用 PELT 這個變點偵測法，找出資料裡的水位跳動點。最後把每一段的平均扣掉，重新估一次 d，記成 d(扣位移)。如果扣完之後 d 掉到 0 附近，代表那份「慣性」根本住在那幾次跳水位裡，跟長記憶無關。

下表是六個格子的結果。d 是原始估計（Local Whittle），位移數是偵測到的水位跳動次數，d(扣位移) 是扣掉每段平均後重估的值。

平方報酬那一欄最乾脆：三個市場扣掉位移後 d 全部塌到 0 附近，判定假象。這正好在時間與市場兩個維度上，複製了 Granger 與 Hyung（2004）在絕對報酬代理上的發現。

假象怎麼消失的

最直接的證據，就是把水位位移扣掉之後，記性沒了。SPY 的平方報酬，d 從 0.41 掉到 0.04；S&P 500 指數本身從 0.44 掉到 0.08；台灣 0050 從 0.35 掉到 0.21。原本看起來很強的慣性，扣掉那幾次換水位就幾乎歸零。

上圖把 SPY 的日波動攤開，紅色橫線是每一段的平均水位。這 18 次位移對得上真實事件：2008-09 雷曼倒閉、2011-08 歐債、2020-02 COVID 開跌、2022 熊市。整條線並沒有一路平滑衰退，而是一段一段換檔。

另一個招牌特徵是 d 會隨著測量頻寬變小。SPY 平方報酬的 d 在三個頻寬下是 0.47、0.41、0.33，一路往下。真長記憶的 d 應該穩定，會隨頻寬滑動的通常是假象。上圖的綠點就是扣掉位移後的 d，直接塌進 0 附近。

這次分析還加了一道保險。真長記憶的資料本身也會被變點偵測誤切，所以光看「d 掉了多少」會冤枉真長記憶。做法是拿真長記憶當對照假設，模擬 200 條路徑跑同一套流程，比對真實統計量落在哪裡。平方報酬那幾格的觀測值遠在拒絕區內，判定站得住。

拿去預測會怎樣

如果波動真有長記憶，用假設長記憶的模型（ARFIMA，把慣性寫死的那種）預測應該最準。這次分析用固定的樣本外視窗、逐月重估，把它跟只吃短期資訊的波動率預測模型（HAR）對打。結果假設長記憶的那個一格都沒贏過對手。在三個平方報酬格子上還顯著更差，經過嚴格的多重檢定校正後，統計強度分別是 10.7、13.2、13.3，全部遠超顯著門檻。

最誇張的是台灣 0050 的區間代理，假設長記憶那個模型的預測誤差衝到 5.09，短記憶模型只有 0.59。硬把分數整合套上去，靠近 d 等於 0.5 的邊界時，預測會偶爾爆量。結論很一致：假設波動有真長記憶去建模，買不到任何好處，還可能挨一記重傷。短記憶的 HAR 才是穩的那一個。

老實說，不是全部都假

六格裡有一格例外。SPY 的 GK 區間代理判為真假參半：扣掉位移後 d 是 -0.33，顯著高於真長記憶的虛無帶（約 -0.49），代表位移確實存在；但 Shimotsu 檢定的另外兩項沒有跟著確認，所以不能說它純粹由位移造成，還保留了一點微弱的真長記憶成分。

還要誠實交代一件事：變點偵測在真長記憶底下本來就容易多切，這是這類檢定的已知毛病，這次分析靠重抽樣模擬去校準、壓下這個偏誤。平滑一點的區間代理比較靠近判定邊界，結論的把握度不如平方報酬那幾格。正確的講法是「大多是假象」，不能簡化成「全部都是假的」。

給讀者的一句話

「這波動會持續很久」的直覺，很多時候是被少數幾次市場變盤騙出來的。真正在發生的，比較像波動水位偶爾整段換檔：平常穩定，遇到大事件跳一個檔位，再穩定一陣子。那條慢慢衰退的長記憶曲線，只是這個換檔過程投射出來的影子。

對做預測的人，這是很實際的差別。當你以為在抓一條有慣性的長記憶，其實是在追幾次換水位，套上把慣性寫死的模型就會建在流沙上。把波動當成「短記憶加上偶爾換水位」來處理，這次分析的樣本外證據顯示更穩，也更誠實。

資料來源

本文為 VolPred 內部研究（實驗代號見文章標籤）。資料為 yfinance 日頻 OHLC、收盤對收盤對數報酬，樣本涵蓋 SPY（1993 起，8,413 天）、S&P 500 指數 ^GSPC（1985 起，10,455 天）、台灣 0050.TW（2009 起，4,282 天）。兩個波動代理：平方報酬 r² 與 Garman-Klass 區間變異數。長記憶估計用對數週期圖回歸與 Local Whittle，水位位移用 PELT 變點偵測，判定經真長記憶情境的重抽樣模擬校準，隨機種子固定 42。方法上呼應 Granger 與 Hyung（2004）在絕對報酬代理上的結果。完整數字對應本文的實驗結果檔。

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