[提出: 用戶(台股+陳婉淑方法), 執行: Claude]

K433 vs K461：同一方法，不同市場——SSVS 揭示美股與台股的本質差異

 實驗類型 ：實證分析（真實數據）｜ 數據來源 ：yfinance（SPY、0050.TW、^VIX、TWD=X）｜ 方法 ：Bayesian SSVS（So, Chen, Liu 2006, JRSS-C）

背景：一個方法，兩個市場

波動率預測最核心的問題之一是： 外生變數究竟有沒有用？ 

問「有沒有用」的難度遠超表面。若逐一測試每個候選變數，會遭遇多重比較問題；若全部放入模型，估計精度又大幅下降。更本質的問題是：當我們手上有 19 個候選預測變數、對應 2^19 = 524,288 種可能的變數組合時，該如何系統性地從中找出最優子集？

1980 年代以來，Bayesian 學派發展出一套優雅的解法—— 隨機搜尋變數選擇（Stochastic Search Variable Selection，SSVS） 。So、Chen 與 Liu 於 2006 年在 Applied Statistics（JRSS-C）將此方法引入 GARCH 框架，台灣學者陳婉淑（Chen Wan-Shu）的後續研究則將 SSVS 應用於台股波動率分析。

本研究用同一套方法論，分別對  SPY（美股）  和  0050.TW（台股）  進行 SSVS 實驗（實驗編號 K433 與 K461），結果呈現出令人驚異的對比，不只是答案不同，而是兩個市場的 資訊結構 截然不同。

SSVS 方法論快覽

SSVS 的核心想法是：對每個候選變數 $x_k$，引入一個潛在 binary 指示變數 $\gamma_k \in {0, 1}$，決定該變數「是否被納入模型」。

\phi_k \mid $\gamma_k$ \sim \begin{cases} N(0, c^2 $\tau_k^2$) & \text{if } $\gamma_k$ = 1 \text{（寬先驗，允許非零）} \ N(0, $\tau_k^2$) & \text{if } $\gamma_k$ = 0 \text{（窄先驗，強制趨零）} \end{cases}

透過 MCMC（Metropolis-within-Gibbs 採樣），演算法在每次迭代時對所有 $2^p$ 個子集空間進行機率加權搜索。最終的「後驗納入機率（Posterior Inclusion Probability，PIP）」衡量每個變數在整個 MCMC 樣本中被選中的頻率——PIP > 0.5 意味著在超過一半的後驗樣本中，貝葉斯模型認為該變數應被納入。

 K433（SPY）設定 ：19 個候選變數（VIX level × 2 lags、VIX change × 2 lags、成交量驚奇 × 2 lags、5 日動能 × 2 lags、TLT 報酬 × 2 lags、GLD 報酬 × 2 lags、HYG 報酬 × 2 lags、AR(1-3)）；訓練期 2388 天，測試期 598 天；MCMC 20,000 次疊代（burn-in 5,000）。

 K461（0050.TW）設定 ：17 個候選變數（SPY 報酬 × 2 lags、VIX level × 2 lags、VIX change × 2 lags、SPY 動能 × 2 lags、成交量驚奇 × 2 lags、台幣匯率變化 × 2 lags、SPY 隔夜報酬 × 2 lags、AR(1-3)）；訓練期 3,429 天，測試期 775 天；MCMC 30,000 次疊代（burn-in 5,000）。

K433：SPY 的結果，空模型後驗機率最高

K433 的 MCMC 結果清晰而直接。

 後驗機率最高的模型是空模型（零個外生變數），後驗機率 4.92% 。排名第二是只含 AR(1) 的模型（1.64%），排名第三是只含 VIX_chg(L2) 的模型（1.56%）。GARCH persistence = 0.9676，顯示 SPY 的波動率幾乎完全由自身的慣性決定。

KItchen Sink（全放入）模型的樣本外 QLIKE 僅改善 0.12%（DM 統計量 0.258，p=0.796，完全不顯著）。SSVS 中間機率模型則與 Baseline GARCH 的 QLIKE 完全相同（因選中的變數組合為空集合）。

 結論：在 2^19 = 524,288 種子集空間中，貝葉斯搜索確認沒有任何外生變數組合能改善 SPY 波動率預測。這是迄今最強的 null result——不是逐一測試，而是同時搜尋所有可能組合。 

K461：0050.TW 的結果——SPY_ret_L1 PIP=1.000

台股的結果與美股形成鮮明對比。

 SPY_ret_L1 的 PIP 達到 1.000 ——在整個 25,000 個後驗樣本中，幾乎從未被排除。OLS 係數 $\beta$ = 0.348，t = 10.81，高度顯著。這確認了美股前一日報酬是台股報酬最強的外生預測因子，對應的正是廣為人知的「美股隔夜效應」。

高 PIP 集中的變數群（PIP > 0.7）：AR(1)、AR(2)、SPY return（兩期）、VIX level（兩期）、SPY momentum、SPY overnight。這表明貝葉斯模型認為台股的均值方程應包含多個美股相關變數。

但問題來了：QLIKE 為什麼不改善？

SSVS 選出了豐富的外生變數，邏輯上預測效果應該更好。然而樣本外 QLIKE 的結果：

DM 檢定：所有 SSVS 模型 vs Empty，winner 均為 Empty（SSVS Median p=0.105，SPY-only p=0.067，均不顯著，但方向是 Empty 更好）。

 SSVS 選出來的變數真實存在，但對波動率預測沒有幫助。  這個「矛盾」如何解釋？

核心機制：Mean ≠ Variance

答案在 GARCH 模型的結構中。

標準 ARX-GARCH 的均值方程是： r_t = $\mu$ + \sum_k \phi_k x_{k,t-1} + $\epsilon_t$, \quad $\epsilon_t$ = $\sigma_t$ z_t

方差方程是： $\sigma_t^2$ = $\omega$ + $\alpha$ $\epsilon_{t$-1}^2 + $\beta$ $\sigma_{t$-1}^2

SSVS 選出的是均值方程的變數（$\phi_k$），而 GARCH 預測的核心是 方差方程 （$\sigma_t^2$）。SPY_ret_L1 對 0050.TW 的 return 具有強大的線性預測力（t=10.81），但這個資訊傳遞到 conditional variance 的路徑是間接的，只有當 SPY_ret 改變了 $\epsilon_t$ 的分布特性，才會影響 $\sigma_{t+1}^2$。

0050.TW 的 GARCH persistence = 0.942，表示波動率幾乎完全由自身歷史決定。在這種高持續性的情況下，均值方程的外生信息對方差的增量貢獻極為有限。

這揭示了一個更深層的方法論問題： SSVS 作為均值方程的變數選擇工具，在高 persistence 的 GARCH 框架下，對波動率預測的改善空間天花板極低。  要真正利用 US→Taiwan 的信息流，需要直接將外生變數引入方差方程（如 GARCH-X 規格），或採用可以捕捉均值-方差聯動的模型。

兩個市場的對比總結

方法論意涵：「選到」不等於「預測到」

本實驗最重要的貢獻，是釐清了一個常見的概念混淆： 變數選擇（Variable Selection）和預測改善（Forecast Improvement）是兩個不同的問題。 

SSVS 在 0050.TW 上成功識別出 SPY_ret 是均值方程的關鍵變數，這個結果是真實的、robust 的。但「解釋 return」和「預測波動率」走的是不同的通道。GARCH 的方差方程有自己的自驅動邏輯，外生的均值信息只有在特定條件下才會溢出到方差。

對台股波動率預測的後續方向因此更加明確：

1.  GARCH-X ：直接將 VIX、SPY realized vol 等帶入方差方程
2.  realized volatility 模型（HAR-X） ：用日內數據直接測量 rv，再以美股 rv 為外生因子
3.  聯合 mean-variance 模型 ：允許 SPY_ret 同時影響均值和方差

So, Chen, Liu（2006）的 SSVS 方法是嚴謹的工具，應用到台股也得到了正確的答案，只是這個答案告訴我們的，是均值方程的信息結構，而不是波動率預測的可改善空間。

局限性

1. SSVS 採用兩階段（先估 GARCH，再用殘差做均值方程選擇），可能遺漏均值-方差的交互效應
2. 台股 OOS 期 T=775 天（2023-2026），涵蓋後疫情市場結構，可能不代表更長期行為
3. SPY 實驗候選變數包含 HYG/GLD/TLT，台股實驗則以美股相關變數為主，候選集不完全對稱
4. K433 的 MCMC 存在 NaN DM 統計量（SSVS 與基準完全相同），顯示選中集合為空集，非估計誤差

實驗腳本：experiments/k433_ssvs_garch.py（SPY）、experiments/k461_ssvs_taiwan.py（0050.TW）
結果存檔：experiments/k433_ssvs_garch_results.json、experiments/k461_ssvs_taiwan_results.json
方法來源：So, M.K.P., Chen, C.W.S., Liu, F. (2006). Best subset selection of autoregressive models with exogenous variables and generalized autoregressive conditional heteroscedasticity errors. Applied Statistics (JRSS-C), 55(2), 201–224.