BMA 沒有贏：當貝葉斯模型平均退化成單模型選擇

本文基於實驗 K434（腳本：experiments/k434/k434_bma_garch.py，結果：experiments/k434/k434_bma_garch_results.json）。數據來源：yfinance，資產：SPY，期間：2005–2026，樣本外：2023-01-01 至 2024-12-31，共 502 個交易日。

[提出: 用戶, 執行: Claude]

摘要

本文以 7 個 GARCH 家族模型為候選集，在 SPY 日報酬上跑 BIC 加權貝葉斯模型平均（BMA），並與等權平均（EWA）和最佳單模型（EGARCH(1,1)-N）做樣本外比較。主要結果：BMA 沒有打敗最佳單一模型（QLIKE 0.5480 vs 0.5430，DM 檢定 p=0.64，無顯著差異），BMA 比等權平均好，但兩者差距同樣不顯著（DM p=0.41）。真正值得注意的是：BMA 把平均 99.76% 的權重全部壓在 EGARCH(1,1)-t 這一個模型上，在 24 個 refit 點裡幾乎從未改變，BMA 在事實上退化成了單模型選擇。

研究背景

「把多個模型加權平均是否勝過單一最佳模型」是波動率預測文獻的老問題。Liu & Maheu（2009）用貝葉斯模型平均在已實現波動率預測上取得正面結果；Timmermann（2006）把「等權平均常常打敗最優加權」這個現象整理成所謂的「forecast combination puzzle」。

這個實驗想在 GARCH 家族上測同一個問題：BMA 是否能自動識別哪個 GARCH 規格最適合當前資料，並透過動態加權提升樣本外精度？候選模型包含 GARCH(1,1)-N/t、GJR(1,1)-N/t、EGARCH(1,1)-N/t、GARCH(2,1)-N 共 7 個規格。

方法與數據

資料診斷確認樣本具備估計 GARCH 模型的基本條件：ADF 檢定 p < 0.001（平穩），ARCH LM 檢定 p ≈ 0（具有 ARCH 效應），Ljung-Box 對 r² 的 p = 0（二階動態顯著）。EGARCH(1,1)-N 的標準化殘差 ARCH LM p = 0.620，殘差無遺留 ARCH 效應。7 個候選模型在 24 個 refit 點的 168 次估計中均收斂（convergence flag = 0，fit failures = 0）。

核心發現

發現一：BMA 沒有打敗最佳單一模型

樣本外 502 天（2023–2024），各方法 QLIKE 排名如下：

EGARCH(1,1)-N 以 QLIKE = 0.5430 拿下最低（最佳），BMA = 0.5480，差距 0.0050（約 0.93%）。DM 檢定 stat = 0.464，p = 0.643，在任何顯著水準下都無法拒絕兩者預測能力相等的虛無假設。

結論清楚：BMA 沒有顯著打敗最佳單一模型。

發現二：BMA 比等權平均好，但差距同樣不顯著

EWA 的 QLIKE = 0.5623，BMA = 0.5480，差距較大（約 2.5%）。但 DM 檢定 stat = -0.829，p = 0.407，差距仍不到統計顯著水準。與此對照，EWA 對最佳單一模型的差距（-3.57%）通過了 DM 檢定（p = 0.040，在 5% 水準顯著），意思是等權平均顯著遜於最佳單模型，但 BMA 的劣勢程度則與最佳單模型沒有統計差異。

這並不代表「BMA 和最佳單模型一樣好」——0.93% 的 QLIKE 差距在 502 個樣本點下訊號太弱，我們只是無法區分兩者。

發現三：BMA 的權重高度集中，退化為單模型選擇

這個實驗最值得記錄的結果不在預測誤差數字，在權重分佈。

24 個 refit 點的平均 BMA 權重：

每個 refit 點，EGARCH(1,1)-t 的權重下限是 0.9905，上限是 0.9990。GJR(1,1)-t 的權重在 0.0010 至 0.0095 之間。其他 5 個模型的權重只有在數值精度範圍內才能和零區分。

這個模式在整個 OOS 期間穩定不變。BMA 從第一個 refit 點（2023-01-03）就把 99.64% 的權重押在 EGARCH(1,1)-t 上，此後數字幾乎沒有變動。

BIC 層面的解釋很直接：在每個 refit 的 2000 天訓練窗口裡，EGARCH(1,1)-t 的 BIC 持續領先其他模型，領先幅度大到 BIC 公式 exp(-0.5 × ΔBIC) 給其他模型的權重接近機器精度的零。BMA 的權重計算機制本身工作正確，只是資料對某一個規格的支持太過明確，導致「加權平均」在數值上退化成「選擇那個最好的模型」。

發現四：按季度看，BMA 排名不穩定

把 OOS 拆成 4 個季度，BMA 排名分別是 [1, 7, 1, 3]，平均排名 3.0；EWA 是 [6, 2, 6, 4]，平均排名 4.5。第 2 季度 BMA 排在第 7（最後），顯示即便整體期間 QLIKE 排第 3，BMA 在某些子期間表現很差。這個不穩定性與「BMA 幾乎等同於單模型選擇」一致：在 EGARCH(1,1)-t 表現最好的時段 BMA 排名高，在 EGARCH(1,1)-t 相對遜色的時段 BMA 立刻跌落。

實務意義

這個結果有兩層對實務者的意義。

第一層：在 BIC 訊號足夠清晰的資料上，BMA 自然退化為模型選擇，不是模型平均。BIC 比較的是對數似然加上懲罰項，當某個規格的似然函數值大幅領先，懲罰項的差距不足以彌補，權重就會高度集中。BMA 在這裡誠實反映了資料的訊息，這是它的設計行為，談不上缺陷。如果資料對某個模型規格的支持程度強到這個程度，那麼「加權平均」本來就只剩一個模型在工作。

第二層：如果你的目標是「提升預測精度」，直接用 BIC 找最佳規格後選定該模型，得到的結果和跑完整 BMA 流程幾乎相同，計算成本卻低得多（24 次 refit，每次只需估一個模型而非 7 個）。BMA 的附加價值在這個 spec 下沒有充分體現。

BMA 的真正優勢是在候選模型之間 BIC 差距不大、或模型不確定性較高的場合。在 GARCH 家族這個比較成熟的類別裡，哪個規格適合哪種資料往往已有共識，BIC 能快速分辨出贏家，BMA 就失去了分散不確定性的機會。如果把 BMA 應用在更異質的候選集（例如 GARCH 混搭 HAR、或混搭機器學習模型），BIC 差距可能更均勻，BMA 退化的機率就會降低。

限制與穩健性說明

1.  RV 代理噪聲 ：平方報酬是波動率的高噪聲代理。若改用日內 5 分鐘 realized variance，QLIKE 排名可能有所不同。
2.  BIC 近似誤差 ：BMA 使用 BIC 近似貝葉斯邊際似然，精確的貝葉斯方法需要 bridge sampling 或熱力學積分。BIC 近似在模型間的函數形式差異不大時效果尚可，在 GARCH 家族內部這個假設合理。
3.  單資產、單 OOS 期間 ：結果基於 SPY 在 2023–2024 年的樣本外表現，不同資產（新興市場、商品）或不同 OOS 期間（2008 金融危機、Volmageddon）可能有不同結論。
4.  EGARCH-t BIC 數值穩定性 ：EGARCH 配 Student-t 分佈在部分訓練窗口可能有數值不穩定問題，BIC 值若被壓低可能人為推高權重。24 次 refit 均顯示 convergence flag = 0，沒有直接的收斂問題證據，但這一點值得進一步檢查。
5.  子期間排名不穩 ：BMA 按季度排名從第 1 到第 7 都有，說明全期 QLIKE 排名在子期間並不穩定，這點限制了「BMA 在這個資料上優於 EWA」的推論範圍。

結論

在 SPY 的 GARCH 家族比較中，BIC 加權 BMA 沒有顯著打敗最佳單一模型 EGARCH(1,1)-N（QLIKE 差距 0.93%，DM 檢定 p = 0.64）。BMA 略優於等權平均，但差距同樣不顯著。

更根本的問題是：在這個設定下，BMA 的權重高度集中（EGARCH(1,1)-t 平均獲得 99.76% 的權重），在數值上退化為單模型選擇。BIC 訊號對 EGARCH-t 規格的支持遠遠強過其他候選，使得「加權平均」失去統計意義。

BIC 加權 BMA 在 GARCH 家族這個成熟類別上，在 SPY 這個流動性高、被深入研究的資產上，沒有帶來超越最佳單模型的預測精度增益，這是一個誠實的 null result，也與 Liu & Maheu（2009）原文「點預測改進有限」的結論一致。

下一步的研究方向：(a) 使用更異質的候選模型集（GARCH + HAR + ML 混合）；(b) 換用更精細的 RV 代理（5 分鐘已實現波動率）；(c) 在新興市場或危機期間測試 BMA 是否有更大的分散效益。

參考文獻：

• Liu, C. & Maheu, J.M. (2009). Forecasting realized volatility: a Bayesian model-averaging approach. Journal of Applied Econometrics 24(5), 709-733.
• Raftery, A.E., Madigan, D. & Hoeting, J.A. (1997). Bayesian model averaging for linear regression models. Journal of the American Statistical Association 92(437), 179-191.
• Timmermann, A. (2006). Forecast combinations. In G. Elliott, C. Granger & A. Timmermann (eds.), Handbook of Economic Forecasting, Vol. 1. North-Holland.