K747: Equal Risk Contribution 的零溢價——數學精密度不等於投資績效

K747: Equal Risk Contribution 的零溢價，數學精密度不等於投資績效

[提出: Claude, 執行: Claude]

摘要

本研究測試 Equal Risk Contribution（ERC，等風險貢獻）投資組合理論在 SPY+GLD 雙資產情境下的實際績效。核心發現： ERC Sharpe=1.795 vs 50/50 Sharpe=1.849，差距 -0.054，DM test 統計不顯著（t=-1.019, p=0.309）。  ERC 精確地均分每個資產的邊際風險貢獻，但當 SPY vol ≈ GLD vol 時，ERC 退化為簡單的反向波動率加權，實際上與 50/50 幾乎相同。數學上更精密不代表績效更好，這是 K704 結論的延伸驗證。

研究背景

Equal Risk Contribution（ERC）由 Maillard, Roncalli & Teïlétché（2010, JPM）正式提出。核心思想是讓每個資產對投資組合總風險的邊際貢獻相等，這比簡單的等權重或反向波動率加權更嚴格——ERC 要考慮資產間的相關性（covariance），不只是個別波動率。

理論上，ERC 在多資產情況下能夠更有效地分散相關性風險。問題是：在實際市場中，這個數學上的精密度是否轉化為績效優勢？

本研究接續 K702（50/50 最優靜態配置）和 K704（50/50 ≈ Risk Parity when SPY vol ≈ GLD vol）的脈絡，直接驗證 ERC 是否帶來超額報酬。

研究設計

比較方法：

•  靜態 50/50 （基準）
•  等權重 
•  反向波動率加權 （InvVol）
•  ERC （等風險貢獻）
•  Max Sharpe （Markowitz mean-variance 最佳化）
•  ERC + 12/VIX overlay （timing 疊加）

參考文獻：

• Maillard, Roncalli & Teïlétché (2010) — On the Properties of Equally-Weighted Risk Contributions Portfolios, JPM
• Qian (2005) — Risk Parity Portfolios, PanAgora
• DeMiguel, Garlappi & Uppal (2009) — Optimal Versus Naive Diversification, RFS
• K702: 50/50 最優靜態配置（grid search 確認）
• K704: 50/50 ≈ Risk Parity（SPY vol 19.3% ≈ GLD vol 18.3%）

核心發現

發現一：ERC 在 2 資產情境下幾乎等於反向波動率加權

 ERC 與 InvVol 數字完全相同（至小數點後三位）。  這不是巧合，當兩個資產波動率接近時，ERC 的等風險貢獻條件退化為 1/$\sigma$ᵢ 加權，與反向波動率加權數學等價。

K704 已確認：SPY 年化波動 ≈ 19.3%，GLD ≈ 18.3%，差距僅 5%。在這個條件下，所有 Risk Parity 系列方法（ERC / InvVol / Naive RP）收斂到同一個解。

發現二：ERC 績效低於靜態 50/50，差距統計不顯著

ERC Sharpe（1.795）vs 50/50 Sharpe（1.849），差距 -0.054。 DM test t-stat = -1.019，p = 0.309—— 遠未達到統計顯著水準 。

解讀：ERC 沒有顯著地打敗或輸給 50/50。在 SPY vol ≈ GLD vol 的市場結構下，ERC 實際上就是一個比 50/50 稍微動態的版本，卻因為月度調倉的交易成本而略微遜色。

發現三：多資產擴張不增加績效，反而降低

加入 TLT 和 AGG 後，所有方法的 Sharpe 都明顯下降：

加入 TLT 和 AGG 後，績效顯著下降，且 DM test 達到顯著（p < 0.05），這與 K737（Max Diversification）結論一致：近年美股環境下，加入固定收益資產稀釋了股票和黃金的相輔相成效果。

發現四：ERC 在時序穩定性上的侷限

ERC 需要估計共變異數矩陣，其 SPY 平均權重 = 0.504（標準差 0.085），範圍 0.335 ~ 0.722。這意味著 ERC 的倉位每月都在波動，引入了估計誤差和更高的換倉率（年均換倉率 1.66 次）。

相比之下，靜態 50/50 完全不需要估計，也沒有估計誤差的風險。

發現五：Cross-OOS 結果——ERC 3/5 期間勝過基準

3/5 期間勝出，恰好通過上架標準最低門檻（≥3/5），但最近兩個期間（2018–2022 含 COVID 崩潰、2022–2026 高通脹加息）ERC 均落後於 50/50。

理論解釋：為什麼 ERC 的精密度沒有轉化為績效？

ERC 的數學精妙之處在於：它不只考慮個別波動率，還考慮資產間的相關性。精確地說，ERC 求解：

對所有資產 i, j：wᵢ × (Σw)ᵢ = wⱼ × (Σw)ⱼ

其中 Σ 是共變異數矩陣。

 問題一：當 $\sigma$_SPY ≈ $\sigma$_GLD 且相關性穩定時，ERC ≈ InvVol ≈ 50/50。 

這是純數學結論：兩資產等波動情況下，ERC 的最優解就是 50/50。

 問題二：估計共變異數矩陣帶來雜訊。 

過去 252 天的共變異數是 ERC 的輸入，但這個估計本身就有誤差。靜態 50/50 完全沒有這種估計風險（estimation risk），因此在 DeMiguel et al.（2009, RFS）所稱的「樣本共變異數估計誤差」問題上免疫。

 問題三：複雜度帶來的交易成本。 

ERC 每月需要重新計算最優解，倉位變動比 50/50 更大。即使每次只有 5 bps 的交易成本，長期累積也形成阻力。

敏感性分析

 回溯期長度（Lookback）對 ERC 的影響： 

更短的回溯期反而 Sharpe 更高（1.834），但差異 < 0.04，統計上不顯著。ERC 對回溯期設定相對穩健。

 交易成本敏感性： 

從 0 bps 到 50 bps，Sharpe 從 1.796 降至 1.783，變化幅度 < 0.7%——ERC 月頻換倉成本影響極小。

與先前研究的一致性

結論

1.  ERC 在雙資產（SPY+GLD）情境下提供零額外溢價 ：Sharpe 1.795 vs 50/50 的 1.849，差距 -0.054，統計不顯著（p=0.309）
2.  ERC 等於反向波動率加權 ：當 SPY vol ≈ GLD vol，數學等價成立，複雜演算法退化為簡單啟發式
3.  多資產擴張適得其反 ：3 或 4 資產 ERC 的績效顯著低於 2 資產 50/50（p < 0.05）
4.  ERC + 12/VIX timing 不增加績效 ：Timing overlay 不幫忙，與 K733 自適應策略結論一致
5.  理論上的精密度 ≠ 實際的績效優勢 ：在 SPY vol ≈ GLD vol 的特殊市場結構下，更簡單的模型（50/50）反而因為沒有估計誤差而表現更穩

 實務建議 ：對於 SPY+GLD 雙資產配置，靜態 50/50 在無需估計共變異數矩陣、無需頻繁重算最優解的情況下，提供了最穩健的長期績效。ERC 的數學精妙之處在多資產、異質波動率的情境下才有發揮空間，在 SPY+GLD 這個高度對稱的配置中，複雜度只帶來成本，不帶來回報。

 局限性 ：

• 評估期間限於 2023-01-04 起（811 天），經濟周期覆蓋有限
• 使用 yfinance 日頻收盤價，未考慮盤中流動性
• 結論僅適用於 SPY+GLD 雙資產情境；在資產更多元、波動率差異更大的環境下，ERC 可能有不同表現
• Cross-OOS 2/5 期間 ERC 落後（2018–2026）值得持續追蹤

數據來源

實驗腳本：experiments/k747_equal_risk_contribution.py 結果數據：experiments/k747_equal_risk_contribution_results.json 數據來源：yfinance 實證數據，期間：2006–2026，共同起點：2023-01-04，N=811 交易日 參考文獻：Maillard, Roncalli & Teïlétché (2010, JPM)；DeMiguel, Garlappi & Uppal (2009, RFS)；Qian (2005, PanAgora)