銀行法規說用「平方根法」估一個月風險，但它真的失準了嗎？SPY 十年數據給出一個不舒服的答案

Basel III 對銀行風險資本的計算有一條廣為人知的規定：把單日 VaR 乘以 10 的平方根，換算成 10 天的風險值。這個「平方根時間法（SRT）」理論上只在報酬彼此獨立、波動率固定的情況下成立。實務上兩個前提都不符合。市場有波動群聚，GARCH 效應隨處可見。

學界多年來的直覺是：越長期，SRT 偏差越大。Monte Carlo GARCH 模擬應該更準。

K1382 實驗在 SPY 2015 至 2025 年做了一個直接檢驗。結果把這個直覺打了一個洞。

三種方法，一個月的決鬥

這個實驗比較三種估計多期 VaR 的方法：

GARCH-Sim 用 GJR-GARCH(1,1) 跑 10,000 條蒙地卡羅路徑，累積 h 天的報酬取分位數。理論上這是最正確的做法，完整考慮 GARCH 的條件波動率路徑。

SRT 則是 GARCH 預測的單日波動率，乘以根號 h，把短期數字直接推算到多天。假設報酬 i.i.d.，計算極為簡單，卻是 Basel III 實務上的常用捷徑。

HistSim 最直觀：直接看過去 250 天相同長度的累積報酬，第 2.5 個百分位就是 VaR。

檢驗標準用 Kupiec LR test：實際損失超過 VaR 的比例，是否等於設定的 1%？比例接近 1.0 是好的，偏高代表模型低估了風險，偏低代表過度保守。

OOS 期間是 2015 年 1 月到 2025 年 12 月（2,766 個交易日），模型每 21 天重新估計一次。初始訓練集用 2000 至 2014 年，共 3,772 天。

結果表格

 Exception Ratio（α=1%，理想值=1.0） 

看最後一行。

GARCH-Sim 的月期 exception ratio 是 0.94，Kupiec p=0.749，表示統計上無法拒絕「coverage 正確」這個假設。SRT 是 1.08，p=0.659，一樣通過。兩個方法在月期幾乎站在同一條線上。

HistSim 是 5.03，p<0.001。設定 1% 的 VaR，實際超出 5.03% 的時間。每 20 天預期被突破一次，實際每 4 天就突破一次。

為什麼短期反而更亂

短期的數字讓人困惑：GARCH-Sim 在 h=1 的 exception ratio 是 2.78，比 SRT 的 1.84 還差。照理說 Monte Carlo 才是「正確做法」，但它在單日反而更激進。

問題出在重估頻率。這個實驗每 21 個交易日才重新估計一次 GARCH 參數，為了降低計算成本。

短期 regime 轉換很快，21 天的重估間隔讓模型反應慢了半拍。COVID 初爆的那兩週，舊參數估出來的波動率嚴重偏低，接下來每天都超出 VaR。

SRT 有個意外的穩定性：它用的是「今天的 GARCH 預測波動率」乘以根號 h，對未來路徑的自相關沒有假設，只是線性放大現在的狀態估計。短期內，這個放大有時反而比模擬出來的路徑偏保守。

到了月期，兩邊的偏差方向被時間平均掉了。極端波動期的高估和平靜期的低估互相抵銷，exception ratio 雙雙收斂到 1.0 附近。月期讓兩個方法的誤差結構趨近，差距統計上消失。

HistSim 在月期為何崩潰

歷史模擬法在月期的 5.03 倍超出率，主因是 COVID 2020 至 2021 年。

子期間分析顯示，2020-2021 期間 h=21 的 HistSim exception ratio 是 8.71，505 天樣本中超出了 44 次。

HistSim 用過去 250 個交易日的月期累積報酬分位數。2020 年 3 月之前的歷史完全沒有近期崩跌的樣本，VaR 被嚴重低估。GARCH-Sim 和 SRT 也在這段期間失守（ratio 分別為 3.37 和 3.17），但程度遠低於 HistSim。

2015-2019 平穩期的 ratio 是 3.97，這個結果更奇怪。市場相對平靜，HistSim 卻仍然超出三倍以上。

原因是 2009-2014 年金融危機後的低波動環境，讓訓練樣本裡的歷史分布看起來「太平靜」，尾部風險被壓縮過頭。

這揭示了 HistSim 的結構性弱點：它只能用過去有的分布形狀，無法外推到尾端的極端值。當月期累積報酬的非常態特性集中在幾次極端事件時，歷史窗口幾乎永遠不夠。

對風險管理實務的意涵

Basel III 要求用 SRT 把 1-day 99% VaR 乘以根號 10，換算 10-day VaR。用於 SPY 這類高流動性資產，這個實驗沒有找到月期 SRT 系統性偏差的統計證據。

幾個限制值得記住。SPY 是美國大型股指數，報酬分布相對對稱，流動性極高。SRT 在流動性低、報酬偏態嚴重的資產上，偏差可能更明顯。

這裡的 GARCH 模型每 21 天才重估一次。更高頻的重估可能讓 GARCH-Sim 在短期表現更好，月期的相對比較也可能跟著改變。

短期 h=1 和 h=5，兩個方法的超出率都偏高，這部分偏差在資本計算上仍然存在。

更根本的問題是：三種方法在 COVID 2020-2021 的 ratio 都超過 3。GARCH-Sim 和 SRT 的月期差距消失，不代表它們在極端事件中夠用。跳躍風險和 regime shift 是兩類方法共同的盲點。

本文基於實驗 K1382（腳本：experiments/k1382/k1382.py，結果：experiments/k1382/k1382_results.json）。數據來源：SPY 調整後收盤價（CRSP/Yahoo Finance），期間：OOS 2015-2025，樣本：2,766 個交易日；訓練集 2000-2014，共 3,772 天。GJR-GARCH(1,1) + Student-t，arch 8.0.0。[提出：Claude]