K1021: A4f Student-t df Joint Estimation — df ≈ 8.5, VaR Calibration Critical

摘要

[提出: Claude, 執行: Claude]

A4f 多重 GARCH 框架使用 Student-t 分佈時，自由度（df）的設定有兩條路：(1)  Plug-in ——先用 OLS 殘差估 df 後固定；(2)  Joint MLE ——df 與其他 GARCH 參數一起估計。本實驗（K1021）系統比較 5 種分佈規格（Normal、t-joint、t-fixed5、t-fixed8、Hansen 1994 skew-t），在 SPY+QQQ 上以 OOS 2019-2026（N=1,827）評估 QLIKE 與 VaR 1%/2.5%/5% 校準。

 核心發現 ：(a) Joint MLE 收斂到 df ≈ 8.5（SPY）/ 8.6（QQQ），與 fixed8 經 DM 檢驗無顯著差異（t=0.870, p=0.385）但比 fixed5 顯著好（t=−3.113, p=0.002，超 Harvey 門檻）；(b)  QLIKE 對分佈假設幾乎無感 ——A4f 變異數方程主導預測精度；(c)  VaR 校準對分佈假設極端敏感 ——Normal 在 VaR 1% 上 SPY 違規率 1.64%（Kupiec p=0.012, Basel YELLOW），QQQ 違規率 2.13%（Kupiec p=0.000,  Basel RED ），fixed5 是唯一在兩資產三 alpha 全達 4/4 scorecard 的設定。

實務結論： 為 QLIKE 選 t-joint 或 t-fixed8；為 VaR 合規選 t-fixed5 或 skew-t 。Plug-in df=5 雖然 QLIKE 略遜，但對 tail risk 的保守性是 Basel III 合規的最便宜保險。

研究背景

為什麼分佈假設值得單獨研究

A4f 是本實驗系列的核心 multiplicative GARCH 框架（K889、K942、K949、K1004 一脈相承）：

$\sigma_t^2 = au_t \cdot g_t, \quad au_t = heta_0 + heta_1 \cdot ext{VIX9D}_{t-1}^2$

$g_t = \omega + \alpha u_{t-1}^2 + \gamma u_{t-1}^2 \mathbf{1}_{r_{t-1}<0} + \beta g_{t-1}$

過去討論集中在  變異數方程 ——VIX9D 是否為合適 exog（K1073）、refit cadence 多少（K1024）、leverage 方向 γ 是否穩健（K889）。但  innovation 分佈  同樣關鍵：VaR 計算中，分位數來源是 $z_\alpha \cdot \sqrt{\sigma_t^2}$，分位數 $z_\alpha$ 直接由分佈假設決定。Normal $z_{0.01} = -2.326$；Student-t df=8 $z_{0.01} = -2.896$；df=5 $z_{0.01} = -3.365$。 df 從 8 降到 5，VaR 1% 估值絕對值放大 16% ——這在 Basel III scorecard 上是 GREEN 與 RED 之差。

Plug-in vs Joint：trade-off 在哪？

兩條路各有支持者：

•  Plug-in 派 （簡單、穩定）：先 OLS 估標準化殘差，矩估或 ML 在邊際估 df，然後固定。優點：不必擔心 df 與 GARCH 參數共同收斂的數值問題；缺點：忽略 df 隨 vol regime 變動的可能。
•  Joint MLE 派 （理論一致）：所有參數一起 minimize negative log-lik。優點：條件 likelihood 一致估計、df 對殘差分佈尾部的調整即時；缺點：MLE 計算貴，且若樣本期波動率有 regime shift，df 估計可能漂移。

K1021 主問題： 這兩條路對 VaR 校準各自付出多少代價？ 

與相關 K 的差異化

• K1073（exog 軸）：問 VIX9D vs alternatives；分佈固定 Normal
• K1024（refit cadence 軸）：問 refit_every 該設多少；分佈固定 Student-t-joint
•  K1021（distributional 軸，本篇） ：固定 exog（VIX9D）固定 cadence（63 天），純粹比較 5 種分佈在 QLIKE × VaR scorecard 的表現

三軸並行，這是本系列的第三軸。

方法與數據

核心發現

發現一：df Joint MLE 穩定收斂到 ≈ 8.5

 三個觀察 ：

1.  Joint df 中位數 ≈ 8.5 ——比 Harvey (2016) 的 t > 3.0 安全帶寬鬆得多，意味 SPY/QQQ 日報酬有顯著厚尾但不極端。文獻常見 equity df 範圍 5-8（K802 跨資產 df 估計），本實驗 8.5 落在偏厚的一端，可能與 OOS 期含 COVID 2020 與 2022 升息熊市的尾部事件聚集有關。
2.  df 是 time-varying ：rolling std=1.77（SPY）/ 2.23（QQQ），代表 df 在 ±2 個單位波動。從圖 1 看，2020 Q1（COVID）與 2022 Q3（升息）期間 df 估計下降到 6 附近，表明這些 regime 下尾部更厚。
3.  Skew-t 估出 df ≈ 9.5 （比 symmetric t-joint 稍高）+ skew λ ≈ −0.22（左偏）。這與股市左尾偏見的先驗一致，但 λ 絕對值小（0.22），說明 symmetric t 已捕捉了大部分尾部結構。

發現二：QLIKE 對分佈假設幾乎無感

QLIKE 數值差異在小數第三位（最大差 0.017，相對差 < 0.2%）。 這是預期之內 ——QLIKE 是 conditional variance 的 loss function，與 innovation 分佈的尾部結構幾乎正交。A4f 變異數方程（VIX9D 驅動的長期成分 × GJR 短期成分）主導預測精度，分佈假設只是把同一個 $\sigma_t^2$ 配上不同的 quantile mapping。

DM tests（SPY，OOS N=1,827）：

兩個 Harvey 顯著結果都涉及 fixed5：

•  t-joint > t-fixed5（QLIKE 角度） ：joint MLE 在預測精度上比強制 df=5 顯著好。這合理，強制 df=5 假設了過厚的尾部，邊際 likelihood 為了 fit tail 犧牲了 body 的擬合。
•  t-fixed8 > t-fixed5（QLIKE 角度） ：固定 df=8 比固定 df=5 顯著好，與 joint MLE 收斂到 ≈ 8.5 的事實一致。

注意 t-joint vs t-fixed8 的 DM 不顯著（p=0.385），說明  joint MLE 與選對的 fixed value 在 QLIKE 上等價 。如果預先有先驗 df ≈ 8，fix 它與 jointly 估計沒差別。

發現三：VaR 校準才是分佈假設真正的戰場

SPY VaR 1% 詳細統計

QQQ VaR 1% 詳細統計（更嚴重的 Normal failure）

 三個關鍵 takeaway ：

1.  Normal 嚴重低估 tail ：SPY 違規率 1.64%（預期 1%），QQQ 違規率  2.13% （預期 1%）——Kupiec p=0.000、Basel RED。這對 risk manager 是直接的合規危機。 用 Normal 來估 daily VaR 1% 是統計上的疏失 ，過去文獻（K967、K824、K1000）已多次警示，K1021 在 A4f 框架下再次驗證。

2.  t-joint 對 QQQ 仍不夠保守 ：joint df ≈ 8.6 給出的 VaR 1% violation rate 仍是 1.70%，Kupiec p=0.0065（YELLOW）。即便 jointly 估計，df 的後驗均值還是傾向「平均」厚度，無法捕捉 QQQ 的科技股集中風險（COVID 2020、Meta 單日 −26% 的 2022-02、Nvidia/Tesla 高 vol 拖尾）。

3.  t-fixed5 與 skew-t 是 VaR 合規勝者 ：兩者在 SPY/QQQ × 三 alpha 全達 GREEN（fixed5 全 4/4 + 6/6 + 4/4，skew-t 同樣全 4/4 + 6/6 + 4/4）。 這是分佈假設保守性的勝利 ——fix 一個比 joint 更厚的 df=5 故意 oversmooth 尾部，雖犧牲 0.4% QLIKE，但換來監管合規零違規。

Trade-off 總結（兩資產合計 VaR scorecard 總分）

僅 fixed5 與 skew-t 達到滿分 28/28——但 skew-t 的 ES 用 simulation 估（VaR 是 analytical），fixed5 兩者都 analytical，計算成本最低。 最便宜的合規方案是 t-fixed5 。

實務意義

對風險管理者：不同目的，不同分佈

K1021 證明  「QLIKE 最優」與「VaR 合規最優」不是同一個分佈規格 ：

•  預測精度（QLIKE）目標  → 選  t-joint  或  t-fixed8 （兩者統計上等價）。QLIKE 數字接近 −8.39（SPY），DM 對 Normal 邊界顯著（p=0.052），對 fixed5 顯著優越。
•  VaR 合規（Basel III）目標  → 選  t-fixed5  或  skew-t 。fixed5 是 plug-in 的極限保守版（強制 df 比 joint 估計低），skew-t 多了 left-skew 校正但 ES 計算貴。
•  權衡兩者  →  t-fixed8 ：QLIKE 最佳，SPY VaR 全 GREEN，QQQ VaR 1% 是 YELLOW（p=0.012）但其他 alpha GREEN。Paper 9 推薦使用此規格作為 baseline。

對 A4f 框架研究者：分佈軸是獨立 lever

K1021 證實： A4f 變異數方程 （K1073 / K1024 處理）與  innovation 分佈 （本篇處理）是  正交的設計選擇 ——前者決定 $\sigma_t^2$ 的點估計（QLIKE），後者決定 $\sigma_t^2$ 的 quantile mapping（VaR 校準）。優化 A4f 不能只調 exog 變數和 cadence，分佈假設必須與用途匹配。

對學術研究者：plug-in 派的辯護不能輕忽

過去文獻常默認 joint MLE 為 gold standard。K1021 結果提示一個 nuance： plug-in df=5 在 VaR 校準上是顯著贏家 ——不是因為它「更準」，而是因為它「更保守」。在合規導向應用中，保守性是 feature 不是 bug。Engle & Manganelli (2004) DQ test 只能告訴你 violations 是否獨立，無法告訴你 over-conservative 與 under-conservative 哪個更糟，而 Basel III 框架對 under-conservative 有重罰、對 over-conservative 沒有懲罰。 plug-in df=5 是這個非對稱懲罰下的理性選擇。 

限制與穩健性

1.  僅 2 資產（SPY、QQQ） ：均為美股大盤 ETF。跨資產類別（GLD、TLT、BTC、新興市場）與台股（0050.TW、TXO）的分佈軸結論需獨立驗證。K1004 與 K1000 已對部分 cross-asset 做過驗證但未涵蓋分佈規格全比較。
2.  OOS 含 COVID 2020 極端事件 ：2020-03 單日 −12% 等 fat tail 事件壓力測試了所有規格。但若移除 COVID 後 fixed5 是否仍稱霸，未做 placebo subperiod。
3.  VIX9D 為唯一 exog ：未與 VIX、VIX3M、實現波動率比較。K1004 已部分覆蓋此問題，K1073 將更系統處理。
4.  Skew-t 的 ES 用 MC 估計 ：analytical VaR + simulation ES 的混合估計增加 noise，可能影響 Z2 的精準度。
5.  Look-ahead 檢查 ：K1021 使用 signal.shift(1) 等效設計——VIX9D_{t-1} 進入 $au_t$，$g_t$ 用 $u_{t-1}$ 與 $r_{t-1}$，所有 conditioning 變數均嚴格 t−1 已知。OOS 評估在 expanding window 之外。
6.  Refit cadence 固定 63 天 ：與 K1024 結論協同——cadence 不是本實驗主軸。

結論

K1021 為 alert auto-remediation 系列的第 3 軸（distributional axis），補完了 A4f 框架的三維設計空間：

• 第 1 軸 K1073 — exog 變數選擇（VIX9D vs alternatives）
• 第 2 軸 K1024 — refit cadence 校準（63 天為何最優）
•  第 3 軸 K1021 — innovation 分佈規格（本篇） 

 核心結論 ：

 A4f 的 innovation 分佈是獨立於變異數方程的設計 lever。Joint MLE 收斂到 df ≈ 8.5（SPY/QQQ），給出的 QLIKE 與 fixed8 等價、與 fixed5 顯著優；但 VaR 1% 校準在 QQQ 仍 YELLOW。Plug-in fixed5 與 skew-t 是唯二在兩資產三 alpha 全 GREEN 的規格。Paper 9 baseline 用 t-fixed8（QLIKE 最佳），合規場景用 t-fixed5（VaR 全 GREEN）。 

下一步：

1. 在 GLD / TLT / BTC / 0050.TW 重做 K1021 比較，驗證 fixed5 是否跨資產類別仍稱霸 VaR 校準
2. 將 EVT-POT 加入比較（與 GARCH-t 比 tail 估計效率）——Patton & Sheppard (2015) 已示警 GARCH-t 對 99% VaR 仍 underestimate
3. 整合 K1073 + K1024 + K1021 結論寫 Paper 9 一節「A4f 三軸設計指南」，作為論文 methodology 章節

實驗腳本：experiments/k1021/k1021.py（seed=42），結果：experiments/k1021/k1021_results.json，數據來源：yfinance (SPY, QQQ, ^VIX9D)，OOS 2019-01-02 ~ 2026-04-09，N=1,827 個交易日，refit window=2,000，refit_every=63。

相關實驗：K1073（exog 軸，並行）、K1024（cadence 軸，並行）、K1004（A4f 跨分佈初探）、K1000（MF-GJR-X+Student-t joint MLE）、K967（CAViaR 直接分位數建模）、K824（HistSim VaR）、K802（cross-asset df estimation）。