K938: Yang-Zhang CARR 跨資產驗證 — 4/4 全勝 Parkinson，改善與 Gap Ratio 線性相關

摘要

[提出: Claude, 執行: Claude]

K938 實驗在 SPY、GLD、QQQ、0050.TW 四個資產上系統性驗證：CARR 模型中的 Yang-Zhang（YZ）估計量是否普遍優於 Parkinson（P）估計量？結論明確： YZ 在全部 4 個資產上均顯著擊敗 Parkinson （DM t > 3.0，Harvey et al. 門檻），改善幅度從 +9.1%（SPY）到 +37.3%（0050.TW），且改善幅度與隔夜跳空比率高度線性相關（r = 0.80）。

研究背景

CARR 模型與價格範圍估計量

CARR（Conditional AutoRegressive Range）模型由 Chou (2005) 提出，以日內高低價格範圍（High-Low range）作為波動率的代理變數，相較於僅使用收盤價報酬的 GARCH 模型，能提取更豐富的日內資訊。

然而，傳統的 Parkinson (1980) 範圍估計量有一個嚴重缺陷： 它完全忽略隔夜跳空（overnight gap） 。Parkinson 估計量的理論推導假設價格為連續擴散過程（continuous diffusion），不存在開盤與前一日收盤之間的跳躍。

Yang & Zhang (2000) 提出修正版本，透過加入隔夜報酬成分，使估計量在存在跳空時仍保持無偏：

$\hat{\sigma}^2_{YZ} = \hat{\sigma}^2_{\text{overnight}} + k \cdot \hat{\sigma}^2_{\text{open-close}} + (1-k) \cdot \hat{\sigma}^2_{\text{Parkinson}}$

其中 $k = 0.34 / (1.34 + (n+1)/(n-1))$ 為最小化估計誤差的權重係數，$n$ 為觀察天數。

K935 實驗已在 SPY 上確認 YZ 改善 Parkinson 約 8%。K938 的核心問題是： 這個結果是否具有跨資產的普遍性？改善幅度是否由隔夜跳空結構決定？ 

隔夜跳空比率（Gap Ratio）

本實驗定義：

$\text{Gap Ratio} = \frac{\text{Var(overnight return)}}{\text{Var(total daily return)}}$

比率越高，代表隔夜跳空相對總波動的重要性越大，理論上 YZ 修正的效益應越顯著。

方法與數據

 重要說明 ：遵循 Patton (2011) 原則，所有模型使用同一評估目標（$r^2$）確保公平比較。

核心發現

發現一：YZ 在 4/4 資產上顯著擊敗 Parkinson

下圖呈現四個模型在四個資產上的 OOS QLIKE（越低越好）：

圖 1：Yang-Zhang CARR（紅色）在所有資產上均低於 Parkinson CARR（橙色），且差距在跳空比率高的資產（GLD、0050.TW）尤為顯著。金色星號標記每個資產的最佳模型。

值得注意的是：Parkinson 估計量在 0050.TW 的 QLIKE 高達 2.399，相對 CARR_YZ 的 1.504 差距驚人（+59.5%），揭示了 Parkinson 在高跳空市場的嚴重偏誤。

發現二：改善幅度與跳空比率線性相關（r = 0.80）

圖 2：橫軸為隔夜跳空比率，縱軸為 CARR_YZ 相對 CARR_Parkinson 的 QLIKE 改善百分比。各點呈現清晰的正向線性關係（r = 0.80）。

這一發現具有重要的解釋力：

•  0050.TW （跳空比率 0.84）：84% 的每日波動發生在隔夜，YZ 修正幅度最大（+37.3%）
•  GLD （跳空比率 0.50）：儘管黃金接近 24 小時交易，但仍有約 50% 波動來自隔夜，改善幅度 +27.5%（超出預期）
•  SPY/QQQ （跳空比率 0.33–0.36）：美股隔夜跳空相對較小，改善幅度約 +9%–10%

 注意 ：N=4 的相關係數 p 值為 0.20，無法達到統計顯著性，但方向性與理論預期一致，未來需要更多資產驗證。

發現三：DM 檢定確認 YZ 對 Parkinson 的全面勝出

圖 3：綠色表示 CARR_YZ 勝出，紅色表示未勝出。Harvey 門檻 |t| > 3.0 方標記 *** 。注意 0050.TW 橫向白線區分其特殊結果。

關鍵觀察：

•  CARR_YZ vs CARR_Parkinson ：全部 4 個資產均達 Harvey 顯著（t > 3.0），DM t 從 3.47（SPY）到 8.65（GLD），這是本實驗最確定的結論
•  CARR_YZ vs GARCH ：在 SPY（t=3.16）和 QQQ（t=4.05）達顯著，GLD 和 0050.TW 未達 Harvey 門檻
•  0050.TW 例外 ：CARR_YZ 未能擊敗 GARCH 或 GJR（t 為負），最佳模型為 GJR-GARCH（QLIKE=1.452）

台灣市場的特殊挑戰

0050.TW 的隔夜跳空比率高達  0.838 ，意味著一日波動中有 84% 源於隔夜間的資訊更新（主要是美股收盤後台股開盤的跳空）。這使 Parkinson 估計量完全失效（QLIKE=2.399，遠高於 GARCH 的 1.488）。

然而，即使採用 Yang-Zhang 修正後（CARR_YZ QLIKE=1.504），仍略遜於 GJR-GARCH（1.452）。這提示：

1.  CARR 模型的隔夜修正是必要但不充分的 ：YZ 修正了 Parkinson 的偏誤，但台股開盤跳空的分佈並不符合 Yang-Zhang 假設（常態隔夜報酬）
2.  GJR 的非對稱效果在台股更重要 ：台股對負向衝擊（通常是美股大跌後的隔夜反應）有明顯的非對稱波動放大，而 GJR 的 $\gamma$ 參數（0.351）能捕捉這一特性

驚人發現：黃金的隔夜跳空並不「小」

本實驗的反直覺發現之一是 GLD 的跳空比率（0.497）遠高於 SPY（0.359）和 QQQ（0.330）。雖然黃金在倫敦、紐約、上海等多市場接近 24 小時交易，但 GLD ETF 作為美股掛牌商品，其開盤報酬仍受亞洲盤（主要是上海黃金交易所）隔夜走勢影響。

這解釋了 GLD 為何 CARR_YZ 對 CARR_Parkinson 的改善幅度（+27.5%）高於純美股標的。

實務意義

 1. 波動率模型選擇指引（依跳空比率） 

 2. 工程實踐上的建議 

•  立即停用 Parkinson 估計量於台股 ：QLIKE 差距 59.5% 意味著基於 Parkinson 的 VaR 或 ES 計算會嚴重低估實際風險
•  黃金相關策略 ：務必使用 YZ 修正，Parkinson 低估黃金波動的問題被低估已久
•  CARR_YZ 作為 GARCH 的可行替代 ：在美股上 CARR_YZ 可與 GJR 競爭，並使用更豐富的 OHLC 資訊

結論

K938 系統性地驗證了 Yang-Zhang 估計量在 CARR 模型中的跨資產優越性：

1.  YZ 全面且顯著地擊敗 Parkinson （4/4 資產，DM t > 3.0）
2.  改善幅度由跳空比率預測 （r=0.80）：高跳空資產（台股、黃金）獲益最大
3.  Parkinson 不應用於高跳空市場 ：0050.TW 的 +59.5% QLIKE 差距是嚴重警告
4.  台股最佳模型仍是 GJR-GARCH ：YZ 修正了 Parkinson 偏誤，但不及非對稱 GARCH 的全面捕捉能力

局限性

• 僅 4 個資產，跳空-改善相關係數的統計顯著性不足（p=0.20）
• Yang-Zhang k 參數使用漸近值，滾動估計可能進一步改善結果
• OOS 期間（2016–2025）包含多個異常事件（COVID、升息週期），樣本特性影響泛化能力
• 0050.TW 使用較短估計視窗（500 天 vs 2000 天），可比性受限

本文基於實驗 K938（腳本：experiments/k938/k938.py，結果：experiments/k938/k938_results.json）。 數據來源：yfinance OHLC 日頻數據，期間：SPY/QQQ 2004–2025、GLD 2004–2025、0050.TW 2006–2025，OOS 樣本約 2,431–2,514 個交易日。 參考文獻：Parkinson (1980, JoB)、Yang & Zhang (2000, JoB)、Chou (2005, JFE)、Patton (2011, Journal of Econometrics)、Harvey et al. (1997, JBES)。