K967: CAViaR 勝出——直接建模分位數動態比 GARCH Student-t 覆蓋率更準確
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[提出: arXiv:2508.15922, 執行: Claude]
摘要
條件分位數預測（Conditional Quantile Forecasting）是 VaR 風險管理的核心問題。本研究（K967）系統性比較三類方法在 SPY 2021–2026 年樣本外期間的表現：(1) GJR-GARCH(1,1) + Student-t 參數化 VaR、(2) CAViaR（條件自回歸 VaR），以及 (3) 以歷史報酬和 VIX 為解釋變數的分位數迴歸（QR）。結果顯示， CAViaR（Asymmetric Slope 變體）在所有 6 個分位數水準一致優勝 ，且覆蓋率（Coverage Rate）準確度最高；GARCH Student-t 則存在系統性的尾部覆蓋偏差。
研究背景
標準 GARCH 模型輸出的是條件波動率（條件變異數的平方根）的點估計，僅代表波動率分佈的均值。實務上，風險管理者更需要的是 條件分位數 ——例如「今日損失超過 $x$ 的機率有多高？」或「最差 5% 情況下損失有多少？」這正是 Value-at-Risk (VaR) 的核心問題。
Engle & Manganelli (2004) 提出的 CAViaR（Conditional AutoRegressive Value at Risk）直接建模分位數的動態過程，不需要假設報酬的分配形式。反觀 GARCH + Student-t 的做法，是先估計分配參數，再反推各分位數，隱含「Student-t 分配假設成立」的前提。本實驗旨在檢驗這兩種策略的實際表現差距。
實驗設計
| 項目 | 設定 |
|---|---|
| 資產 | SPY（S&P 500 ETF） |
| 數據來源 | yfinance |
| 完整期間 | 2006-01-04 ~ 2026-04-06（5,094 個交易日） |
| 樣本內（IS） | 2006-2020（3,775 觀測值） |
| 樣本外（OOS） | 2021-2026（1,319 觀測值） |
| 分位數水準 $\alpha$ | 1%, 5%, 10%, 90%, 95%, 99% |
| 評估指標 | Pinball Loss、Kupiec LR test、DM test（Harvey 2016 門檻 $t > 3.0$） |
三類方法：
-
GARCH Student-t ：GJR-GARCH(1,1) 固定參數，$\sigma_t$ 遞迴更新，VaR 由 Student-t 分位數乘以 $\sigma_t$ 計算。GARCH 持續性 persistence = 0.985，自由度 $\nu = 5.26$。
-
CAViaR（Asymmetric Slope） ：直接建模 $Q_t(\alpha) = \beta_0 + \beta_1 Q_{t-1}(\alpha) + \beta_2 (r_{t-1})^+ + \beta_3 (r_{t-1})^-$，以 IS 期間 pinball loss 最小化選出參數，OOS 期間固定參數遞推。
-
分位數迴歸（QR） ：以 $|r_{t-k}|$（$k=1,\ldots,5$）及 $\text{VIX}_{t-1}$ 為解釋變數，對各 $\alpha$ 分別 OLS 估計分位數迴歸（statsmodels QuantReg）。
核心發現
一、CAViaR 在所有分位數均勝出（Pinball Loss）
Pinball Loss（又稱 Quantile Loss）是評估分位數預測的嚴謹準則，對於目標分位數 $\alpha$，若預測值 $Q_t$ 低估真實損失（即 $r_t < Q_t$），懲罰為 $(1-\alpha)|r_t - Q_t|$；若高估則懲罰為 $\alpha|r_t - Q_t|$。
圖1：六個分位數水準下，三類模型的 OOS Pinball Loss（×10⁻³）。CAViaR 在每個水準均最低。
詳細數據如下：
| $\alpha$ | GARCH PL (×10⁻³) | CAViaR PL (×10⁻³) | QR PL (×10⁻³) | 最佳 |
|---|---|---|---|---|
| 1% | 0.3557 | 0.3417 | 0.3445 | CAViaR |
| 5% | 1.1755 | 1.1636 | 1.1714 | CAViaR |
| 10% | 1.9201 | 1.8980 | 1.9054 | CAViaR |
| 90% | 1.5909 | 1.5566 | 1.5817 | CAViaR |
| 95% | 0.9619 | 0.9276 | 0.9493 | CAViaR |
| 99% | 0.2772 | 0.2748 | 0.2756 | CAViaR |
CAViaR 的優勢在中間分位數（5%、90%、95%）最為明顯，1% 和 99% 的極端尾部三方差異縮小。
二、GARCH 存在系統性覆蓋偏差
Kupiec (1995) 似然比檢定評估「實際違約次數是否符合名目水準」。理想模型不應被拒絕（$p > 0.05$）。
圖2：實際 Coverage Rate（%）vs 目標值。GARCH 在多個分位數出現系統性偏離；CAViaR 最接近目標值。
| $\alpha$ | 目標覆蓋率 | GARCH 實際 | CAViaR 實際 | QR 實際 | GARCH Kupiec $p$ | CAViaR Kupiec $p$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1% | 1.0% | 1.52% | 1.21% | 0.76% | 0.080 | 0.452 |
| 5% | 5.0% | 7.43% | 4.78% | 4.32% | 0.00015 ⚠️ | 0.707 |
| 10% | 10.0% | 12.66% | 10.77% | 9.48% | 0.0019 ⚠️ | 0.359 |
| 90% | 90.0% | 10.24%（下尾） | 10.77% | 8.95% | 0.777 | 0.359 |
| 95% | 95.0% | 3.34% | 5.46% | 3.64% | 0.0032 ⚠️ | 0.451 |
| 99% | 99.0% | 0.45% | 0.91% | 1.06% | 0.0258 ⚠️ | 0.738 |
⚠️ GARCH 在 5%、10%、95%、99% 四個分位數均被 Kupiec 檢定拒絕（$p < 0.05$），顯示 Student-t 分配假設在 2021–2026 的樣本外期間並不成立。CAViaR 所有分位數 Kupiec $p > 0.35$，無法拒絕「正確覆蓋」的虛無假設。
三、DM 檢定，差異統計顯著性
根據 Harvey, Leybourne & Newbold (2016) 的修正 DM 檢定，$|t| > 3.0$ 才視為顯著（高度依賴多重比較控制）：
- 唯一顯著差異 ：$\alpha = 0.95$，GARCH vs CAViaR，$t = 3.079$（CAViaR 顯著較佳）
- 其餘 5 個分位數：DM $|t| < 2.5$，差異在統計上不顯著
這提示：雖然 CAViaR 在 Pinball Loss 上一致勝出，但差距大多介於統計雜訊範圍內，僅在 95% 分位數達到顯著門檻。Coverage Rate 的系統性偏差則是更清楚的品質差異指標。
四、VIX 對極端分位數有顯著增量預測力
以不加 VIX 的純歷史報酬 QR 為基準，加入 $\text{VIX}_{t-1}$ 後：
| $\alpha$ | Pinball Loss 改善 | DM $t$-stat | 顯著？ |
|---|---|---|---|
| 1% | 5.09% | 3.595 | 是 ✓ |
| 5% | 2.82% | 2.191 | 否 |
| 10% | 2.59% | 2.533 | 否 |
VIX 對 1% 極端損失分位數 有統計顯著的增量預測力（DM $t = 3.595 > 3.0$），但對較溫和分位數（5%、10%）的改善未達 Harvey 門檻。這與 VIX 作為「尾部恐慌指標」的理論角色一致。
方法論意涵
為什麼 GARCH 的覆蓋率偏離？
2021–2026 年市場經歷多次 regime 轉換（COVID 後復甦、升息週期、通膨衝擊），GARCH 的 Student-t 分配參數在 IS 期間（2006–2020）估計後固定使用。當尾部肥厚程度（$\nu$）在 OOS 期間與 IS 期間不同，VaR 計算便出現系統誤差。
CAViaR 的優勢來自「非參數性質」，它不假設分配形式，直接讓分位數過程適應過去的違約行為（$Q_t$ 包含 $Q_{t-1}$），在 regime 轉換後能更快調整。
實務意義
-
風險管理建議 ：若需計算 SPY 的每日 VaR（特別是 5% 和 95% 分位數），CAViaR 比 GARCH + Student-t 在 OOS 覆蓋率上更可靠，避免系統性高估或低估風險。
-
VIX 整合 ：對最極端的 1% VaR，納入前日 VIX 資訊有統計顯著改善，可在 QR 框架內輕易實現。
-
差異的實際規模 ：三種方法差距小，大多數 DM 不顯著（$|t| < 3.0$）。從純 Pinball Loss 角度看，CAViaR 的提升幅度在 0.5%–3.5% 之間。實務上，Coverage Rate 的品質差異（GARCH 多個分位數被 Kupiec 拒絕）比 Pinball Loss 的微小差異更具決策意義。
局限性
- CAViaR 使用固定 IS 參數在 OOS 期間遞推（未做遞迴再估計），可能低估其真正的適應能力
- OOS 期間（2021–2026）僅包含一個完整市場週期，需更長樣本外驗證
- 樣本僅涵蓋 SPY，跨資產（GLD、TLT、QQQ）的泛化能力待驗證
- 本實驗未測試 EVT（Extreme Value Theory）方法，後者在尾部估計可能更優
結論
K967 實驗確認： CAViaR（Asymmetric Slope）是三類分位數預測方法中最可靠的選擇 。其優勢不僅體現在 Pinball Loss 的一致領先，更體現在所有分位數的 Kupiec 檢定均無法拒絕正確覆蓋，反觀 GARCH Student-t 在多個關鍵分位數有系統性偏差。VIX 對 1% 極端分位數有顯著增量預測力（DM $t = 3.595$），建議在極端 VaR 估計中整合 VIX 資訊。
實驗腳本：experiments/k967/k967.py，結果數據：experiments/k967/k967_quantile_forecast_results.json。
數據來源：yfinance（SPY、^VIX），期間：2006-01-04 ~ 2026-04-06，樣本外 N=1,319。
參考文獻：Engle & Manganelli (2004) JBE；Kupiec (1995) J. Derivatives；Harvey, Leybourne & Newbold (2016) IJF。
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