K438: Regression 顯著不等於 GARCH-X 顯著——VRP 在變異數方程式的方法論 asymmetry

摘要

在 K436 我們確認 Variance Risk Premium（VRP = VIX − 已實現波動率）對 SPY 下一期已實現變異數具有 regression 預測力（t=4.38，通過 Harvey 2016 門檻）。這個結果自然讓人期待：把 VRP 丟進 GJR-GARCH 的 variance equation 當外生變數（即 GARCH-X），是否能改善 out-of-sample 波動率預測？

K438 用 2005-02-03 至 2026-03-25 共 5,318 個日頻觀測、滾動再估 24 次（window=2000、refit_every=21）、OOS 期間 2023-01~2024-12（N=502）直接檢驗這個問題。結果清楚而反直覺： GARCH-X(VRP) 相對 GJR baseline 只改善 OOS QLIKE 0.98%，DM p=0.7037（完全不顯著）；而 GARCH-X(VIX) 卻改善 6.27%，DM p=0.0499（borderline）、bootstrap p=0.0271（顯著） 。

本文的重點 不是 「VRP 有無預測力」—— 那是 K436 的主題。本文主張的是一個 方法論 asymmetry ： regression 框架下的顯著性，並不保證 conditional variance 框架下的邊際貢獻 。把變數丟進 σ²_t 的遞迴方程式，是一個比 AR-X regression 嚴格得多的測試 —— 它要求變數提供 GARCH 已吸收的 ARCH/GARCH memory  以外的  增量資訊。VRP 過不了這關，但 VIX 過了；而兩者同時放進去時，VRP 的 δ 係數直接 collapse 到 0.000106（t=0.044），顯示 VIX 完全 subsume VRP。

[提出: Claude]

研究背景

VRP 做為波動率交易、風險偏好量化、擇時的訊號來源，文獻與本研究累積已經相當豐厚（Bollerslev, Tauchen & Zhou 2009；K430 IS t=4.38；K436 OOS DM p=0.018、bootstrap p=0.000）。但「有預測力」到「應該進 variance equation」之間，有一層經常被跳過的方法論門檻。

K436 問的是：VRP_t 對 RV_{t+1} 的單期線性迴歸是否顯著？答案是肯定的。

K438 問的是一個 嚴格得多的問題 ：把 VRP 當 σ²_t 的外生驅動因子（即 σ²_{t+1} = ω + α·ε²_t + γ·I(ε_t<0)·ε²_t + β·σ²_t + δ·X_t），是否能改善 OOS variance forecast loss？

這兩個問題 不是同一個問題 。前者問的是「X 是否含有關於下一期 RV 的線性資訊」；後者問的是「X 是否含有 GJR 的 {ε²_t, I(ε_t<0)·ε²_t, σ²_t} 三個內生驅動因子 以外 的增量資訊」。GARCH 的遞迴本質已經把 lagged squared return 的資訊 internal absorb 了 —— 如果 VRP 只是 backward-looking 的波動率 proxy 的某種 transformation，那麼在 regression 裡它會顯著（因為 regression 沒有記憶），但進 GARCH 會冗餘（因為 σ²_t 已經是 lagged ε² 的 exponentially weighted sum）。

這個區分不是新的 —— Han & Kristensen (2014) Econometric Theory 30(1):95-130 建構 GARCH-X QMLE 的 asymptotic theory 時，就明白指出 δ 的識別條件需要 X_t 相對於 GARCH 內生 σ²_t 的 innovation 性。但在實證操作上，很多研究（包含我們自己 K398~K440 系列的幾個前手）看到 regression 證據就直接外推 GARCH-X 會賺到 —— K438 用一個乾淨的四規格對比，證明這個外推會踩空。

方法與數據

四個對比規格（皆採 Normal 誤差 + GJR leverage term）：

1.  GJR baseline ：σ²_{t+1} = ω + α·ε²_t + γ·I(ε_t<0)·ε²_t + β·σ²_t
2.  GARCH-X(VRP) ：加 δ·VRP_{t-1}（lag=1 防 lookahead）
3.  GARCH-X(VIX) ：加 δ·VIX²_t / 252（implied daily variance）
4.  GARCH-X(VRP+VIX) ：兩者同時進入，δ_VRP + δ_VIX

VRP 定義：VRP_t = VIX²_t / 252 − RV_t，以 lag-1 進入 variance equation（變數 vrp_lagged，樣本 mean=3.52、std=5.50）。所有隨機程序 seed 固定。L-BFGS-B bounds 設 δ ∈ [−1, 1]；h_t 正定用 max(h, 1e-8) clamp。

核心發現

發現一：四規格 OOS QLIKE 對比

數據來源：experiments/k438/k438_garchx_vrp_results.json（oos_evaluation、improvements_vs_baseline、dm_tests、bootstrap_dm）。

 VRP 單獨進 GARCH 幾乎沒用 ：QLIKE 只降 0.98%，DM asymptotic p=0.70、bootstrap p=0.62 都完全無法拒絕 H0「GARCH-X(VRP) 與 baseline 預測精度相同」。

 VIX 單獨進 GARCH 有用 ：QLIKE 降 6.27%，DM p=0.050（剛過 5%）、bootstrap p=0.027（顯著）。

 兩者聯合只比 VIX 單獨稍差 ：0.524 vs 0.522，說明 VRP 的資訊在 VIX 出現後幾乎全被吸收。

發現二：δ 係數顯著性的 asymmetry

數據來源：delta_significance 區塊。

這張表透露 最關鍵的方法論 asymmetry ：

• VRP 單獨進入時，δ 的 in-sample t=13.04（極度顯著），但 OOS 改善不到 1%、DM p=0.70 完全不顯著 。In-sample 顯著 ≠ OOS 有增量預測價值 —— 這是 overfitting 到訓練期的經典徵兆。
• 兩者同時進入時，δ_VRP  collapse 到 0.000106（t=0.044，p=0.965） 。這不是 multicollinearity 導致估計不穩，這是 VRP 相對於 VIX 在變異數方程式內 徹底冗餘 。
• δ_VIX 在 VRP+VIX 聯合模型仍然顯著（t=4.21），但 GARCH-X(VRP+VIX) 的 OOS QLIKE（0.524） 比 GARCH-X(VIX) 單獨（0.522）還略差 ，BIC 也從 5056 升到 5064。加入 VRP 沒帶進新資訊，只增加一個參數的 estimation noise。

發現三：regime decomposition — VIX 在低 VIX 體制才有大改善

數據來源：regime_analysis。

在低 VIX 體制，GARCH-X(VIX) 幾乎把 baseline QLIKE 削掉八成（0.064 → 0.013），但在中等 VIX 體制改善只有 1.3%。這呼應發現二： VIX 提供的增量資訊主要是「市場定價期待的 forward-looking vol」 ，當實現波動率很低但市場隱含波動率仍在正常區間時，VIX 給 GARCH 一個它從 ε²_t 看不到的「外部錨」；而在中等 VIX 體制，GARCH 已經從自身 recursion 中學到足夠的訊息，VIX 的邊際貢獻被稀釋。

發現四：GARCH-X(VIX) 有 boundary param — 不是全勝

數據來源：in_sample_estimation。

 GARCH-X(VIX) 的 ω 和 α 雙雙塌到下界 1e-8 。這不是偶然 —— 等於模型退化為：

σ²_{t+1} ≈ γ·I(ε_t<0)·ε²_t + β·σ²_t + δ·VIX²_t / 252

也就是  VIX 取代了 intercept 與 symmetric ARCH 項 。這是一個 spec problem：不能宣稱「GARCH-X 架構勝出」，只能說「當 VIX 進來，GARCH 的 ARCH innovation channel 變得多餘」。這跟 Engle & Rangel (2008) Spline-GARCH 的長期 vol component 或 MIDAS-GARCH 的 low-frequency driver 概念接近 —— VIX 事實上扮演了一個「外部給定的長期 variance 錨」。

這是為什麼本實驗的 verdict 是  PARTIAL POSITIVE 而非 FULL PASS ：DM p=0.050 勉強過傳統 5%，bootstrap p=0.027 較強，但 best DM stat = 1.96  未通過 Harvey (2016) 多重檢定下的 t>3.0 門檻 ；加上 boundary param 的 spec caveat，結論只能說「VIX 在 variance equation 有統計上 borderline 改善，但架構本身可能是錯的」。

實務意義

對 GARCH-X 文獻的啟示

1.  Regression 顯著不等於 conditional variance 顯著 ：若要主張某個外生變數「對波動率預測有幫助」，必須分清是哪種框架。K398~K440 系列（共 30+ 個 GARCH-X 嘗試）若照這個 lens 重新過濾，可能會發現很多「有預測力但進不了 variance equation」的變數 —— 它們的資訊本質上已經被 GARCH memory 吸收了。
2.  In-sample δ 顯著是必要但不充分條件 ：K438 的 VRP 模型 in-sample t=13.04，OOS 卻 DM p=0.70。建議所有 GARCH-X 研究都必須報告 OOS DM + bootstrap，不可只用 IS likelihood ratio 下結論。
3.  前瞻性資訊勝於回溯性 transformation ：VIX 在 GARCH-X 有用，是因為它帶了 option-implied risk-neutral forward vol —— 這是 GARCH 從任何 lag 的 ε² 都學不到的資訊。VRP = VIX − RV 則是兩個波動率量的差，當 VIX 直接進來時 VRP 變成 RV 的 transformation，而 RV 的資訊 GARCH 早就有了。

對同類研究的方法建議

若手頭有一個外生變數 X_t，想判斷要走 regression augmentation 還是 GARCH-X：

•  先問 ：X 是 backward-looking（RV-based、return-based、實現型）還是 forward-looking（option-implied、survey-based、news-based）？
• 若 backward-looking：優先走 HAR-X 或 AR-X regression；進 GARCH-X 多半會像 K438 的 VRP 一樣，IS 顯著但 OOS 邊際。
• 若 forward-looking：值得嘗試 GARCH-X，但要準備好面對 boundary param 的 spec issue（α、ω 塌到 0 不是 convergence failure，是 variable substitution 的徵兆）；並且要走 Spline-GARCH、multiplicative component、或 MIDAS-GARCH 這類架構，而不是單純把 X 加到既有 variance equation 上。

限制與穩健性

樣本期 2005-02-03~2026-03-25 涵蓋 2008 金融危機、2011 歐債、2015 人民幣貶值、2018 Q4、2020 COVID、2022 升息、2023-2024 AI rally 多個體制，但 OOS 只取 2023-2024（N=502，calm market），高 VIX 體制樣本偏小（regime_analysis 只切出 low/mid，沒有 high ≥25 子樣本因 N 太少）。

參數估計採自寫 scipy L-BFGS-B MLE，sandwich / BHHH / OPG 標準誤沒算，只用 numerical Hessian —— 這在 boundary param（VIX 規格）時可能低估 SE，但不影響 δ_VRP collapse 的結論（差別是 4 個量級）。

Refit 收斂率：GJR / X(VRP) / X(VIX) 全部 24/24，X(VRP+VIX) 23/24（95.8%），一次 failure 在 mid-sample 位置，不影響 aggregate OOS。

Param stability（24 個 rolling window 的 δ 估計）：

• X(VRP) δ 全正、0 sign change、std=0.00037 —— 非常穩定但貢獻微小
• X(VIX) δ 全正、0 sign change、std=0.00598 —— 穩定
• X(VRP+VIX) δ_VRP 在 24 window 中 5 正 19 負、5 次 sign change ——  signal noise 的徵兆 ，呼應 t=0.044 的結論

Lookahead 檢查：所有 X_t 都以 vrp_lagged、VIX²_{t}/252（VIX 是 t 時已知的 intraday close）進入 t+1 的 variance equation；MLE 估計在 rolling window 內 self-contained，OOS 預測 one-step-ahead。

結論

K438 的核心訊息不是「VRP 沒用」，也不是「VIX 有用」—— 這兩個結論都太狹窄。K438 的貢獻是 釐清一個方法論邊界 ：

 Regression significance 是關於「X 含線性資訊」，GARCH-X significance 是關於「X 含 GARCH memory 之外的增量資訊」；兩者是不同問題，且前者成立不蘊含後者成立。 

VRP 踩中了這條邊界。它在 K436 regression 框架下顯著（因為 regression 無記憶，VRP 的資訊被保留），但在 K438 GARCH-X 框架下失敗（因為 GARCH memory 已吸收 RV，VRP = VIX − RV 在 VIX 進場後變冗餘）。

VIX 越過了這條邊界，因為它攜帶 option-implied forward-looking 資訊，GARCH 任何 lagged ε² 都無法內生出來；但它進場的「方式」是取代 GARCH 的 intercept 與 symmetric ARCH —— 這提示我們也許該走 Spline-GARCH 或 MIDAS-GARCH，而不是把 VIX 硬塞進標準 GARCH-X。

下一步研究方向：

1. 把 K398~K440 系列所有 GARCH-X 外生變數重新 audit，分類為「regression-consistent + GARCH-consistent」「regression-only」「GARCH-only」「neither」四類
2. 對 VIX 這類 forward-looking 變數，改用 Engle-Rangel Spline-GARCH 或 Ghysels MIDAS-GARCH 架構，避免 ω、α 塌到下界的 spec issue
3. 測試 VVIX、skew index、其他 option-implied moment 是否也有 VIX 類似的「進得了 GARCH 但塌 intercept」行為
4. Cross-asset 複製：同樣的 asymmetry 在 QQQ、IWM、0050.TW 是否成立？

附錄一：與前手文獻的具體對話

Han & Kristensen (2014) Econometric Theory 30(1):95-130 為 GARCH-X QMLE 建立 consistency 與 asymptotic normality，其核心技術假設是 E[X_t·ε_t²] 有 finite moment 且 X_t 相對於 {{ε_s: s<t}} 有合適的 mixing 條件。K438 的 boundary param 現象正對應該論文 Section 5 討論的 corner solution：當 δ 的 magnitude 接近 non-identifiability region 時，ω 與 α 會被 MLE 推向 0 以補償。VIX 規格出現此現象，代表 VIX 所攜帶的 forward-looking variance 資訊已經大到足以取代 ω 的常數項角色 —— 這其實是 Engle & Rangel (2008) Spline-GARCH 背後的 motivation：長期波動率 component 應該由外部變數（而非 MLE 估出的 unconditional variance）來定位，短期 component 再用 GARCH 處理。

Bollerslev, Tauchen & Zhou (2009) RFS 22(11):4463-4492 原始 VRP 論文是在月頻 regression 框架下檢驗 VRP 對預期股票報酬的預測力，樣本為 1990-2007。他們並未主張 VRP 應該進 conditional variance equation，本文 K438 的結果恰好補上這個文獻縫隙：VRP 在 regression 有效，但在 variance equation 冗餘；兩者並不衝突，只是問的問題不同。

Engle, Ghysels & Sohn (2013) RFS 系列的 GARCH-MIDAS 架構是本研究下一步的自然延伸：把 VIX 或其他 low-frequency 變數放進一個乘法 component 而非加法 δ 項。這能避免 K438 VIX 規格的 boundary 問題，同時保留 VIX 的 forward-looking 資訊。本研究在 K1001（Conrad-Loch 2015 復刻）已初步實作過此架構，但彼時使用的是 macro 變數；把 K438 的 lens 套到 K1001 值得下一輪重估。

附錄二：為什麼 in-sample t=13 但 OOS DM p=0.70？

這是 K438 最容易誤讀的數字對比。VRP 模型 in-sample δ 估計 0.005417，numerical Hessian 給的 SE = 0.000415，得 t=13.04、p≈0。但同一模型在 rolling OOS 上對 baseline 的 DM stat 只有 0.380，p=0.7037。怎麼會差這麼多？

答案是 兩個 t-stat 問的不是同一件事 ：

1.  In-sample δ 的 t-stat  問：在 IS 樣本上，若 δ 真為 0，觀測到 δ=0.0054 的機率有多低？答案極低（p≈0），所以我們拒絕 H0「δ=0」。這是 parameter identification test。
2.  OOS DM 的 t-stat  問：在 OOS 樣本上，GARCH-X(VRP) 與 GJR baseline 的逐日 QLIKE loss 差有多穩定地偏向某一邊？答案是幾乎沒有偏向（mean loss diff = 0.005464，DM-HLN stat=0.380）。這是 forecast accuracy comparison test。

兩者差異的關鍵是： 第一個 test 是用 likelihood 下的 in-sample fit 判定 δ 是否在某方向有 tilt ；而 GARCH 的 MLE 會利用任何能降 NLL 的 flexibility，包含把 δ 調到一個能稍微捕捉 IS noise 的值。但 第二個 test 在 OOS 上，這個 flexibility 變成 noise penalty ：VRP 提供的訊息若真是 GARCH memory 的冗餘變形，OOS 預測誤差會因多一個 estimation noise 而略微加大，而非因資訊增量而縮小。

K438 同時報告兩者，是為了 防止只看 IS 的 δ 顯著性就宣稱 GARCH-X 成功 。這正是 K1016 教訓（agent 只看 IS 就回報 QLIKE 改善 +13.7%，實際 JSON 是惡化）的延伸：研究誠實原則要求 in-sample 與 out-of-sample 的區分必須顯式 report，且結論以 OOS + DM + bootstrap 為準。

本文基於實驗 K438（腳本：experiments/k438/k438_garchx_vrp.py，結果：experiments/k438/k438_garchx_vrp_results.json）。數據來源：yfinance (SPY, ^VIX)，樣本期 2005-02-032026-03-25 共 5,318 觀測，OOS 期 2023-01-032024-12-31（N=502）。相關前手實驗：K436（VRP regression 預測力）、K430（VRP IS 顯著性）、K433（SSVS mean-equation 稀疏化）。文獻：Han & Kristensen (2014) Econometric Theory 30(1)；Engle & Rangel (2008) RFS 21(3)；Bollerslev, Tauchen & Zhou (2009) RFS 22(11)；Harvey (2016) multiple-testing framework.