K1016: vix_gap 加入 HAR 反而惡化 QLIKE——目標函數決定模型優劣
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[提出: Claude, 執行: Claude]
摘要
K1016 實驗系統地評估 vix_gap（VIX 隱含波動率 - 已實現波動率差距）對 HAR 波動率模型的增量預測力。核心發現揭示一個反直覺的雙重真相：vix_gap 樣本內高度顯著（t=18.43），但在最嚴格的 QLIKE 準則下，加入 vix_gap 反而惡化了樣本外表現。這個現象揭露了波動率預測中「預測目標匹配」的根本重要性。
研究背景
理論動機
K1014 實驗在 HAR-PD 全路徑特徵模型中發現，vix_gap（VIX 隱含波動率減去已實現波動率）是唯一統計顯著的路徑特徵（t=7.27），其餘變數因多重共線性而失去預測力。這個發現引出一個自然問題：如果我們將 vix_gap 單獨加入簡潔的 HAR 模型，能否取得穩健的樣本外改善？
研究意義
vix_gap 等同於 波動率風險溢酬（VRP） ——市場對未來波動率的過度定價（相對於已實現波動率）。Bollerslev 等人（2009）已確認 VRP 是股票市場風險溢酬的前瞻指標。vix_gap 持續為正（86.5% 的交易日 VIX 高估已實現波動率）表明市場系統性地為波動率保險支付溢酬。
方法與數據
| 項目 | 設定 |
|---|---|
| 資產 | SPY（美股大盤 ETF） |
| 數據來源 | yfinance（SPY, ^VIX） |
| 樣本期間 | 2004-02-04 至 2026-04-08（5,579 觀測值） |
| 評估期間 | 2012-01-13 至 2026-04-08（3,567 觀測值） |
| HAR 窗口 | 滾動 1,000 天，每 63 天重估 |
| GARCH 窗口 | 滾動 2,000 天，每 63 天重估 |
| 評估準則 | QLIKE(r²)——Patton (2011) proxy-robust 黃金標準 |
vix_gap 定義：
vix_gap_t = VIX_t / (100 × √252) - √(RV_22_t)
其中 RV_22_t 為過去 22 個交易日的日報酬率平方均值之平方根（已實現波動率代理）。
五種模型比較
| 模型 | 規格 | 性質 |
|---|---|---|
| M1 | HAR(1,5,22) | 基準 |
| M2 | HAR + vix_gap | 主要測試 |
| M3 | HAR + VIX_level | 對照組 |
| M4 | A4f-VIX9D（GARCH-X） | 參考（注意事項見下） |
| M5 | GJR-t | GARCH 基準 |
注意 ：M4 因 arch 套件的 GARCH-X 估計限制，實際退化為純 GJR-t，與 M5 結果相同，因此不作為有效比較。
核心發現
發現一：目標函數決定一切
這是 K1016 最重要的發現—— 相同的模型，在不同的損失函數下產生截然相反的結論：
| 模型比較 | 評估準則 | DM 統計量 | 結論 |
|---|---|---|---|
| M2 vs M1 | QLIKE r² | +1.583（未達顯著） | vix_gap 惡化 表現 |
| M2 vs M1 | MSE |r| | -2.869（p=0.004） | vix_gap 改善 表現 |
解讀 ：vix_gap 確實能改善對絕對報酬（|r|）的預測，但這個改善在轉換為 r² 目標後反而變成損害。原因在於 vix_gap 長期為正（平均超過市場已實現波動率），使 HAR+vix_gap 系統性地 高估 波動率。在 MSE(|r|) 準則下，高估偏誤可以被接受；但在 QLIKE(r²) 準則下，高估的懲罰是非對稱且嚴重的。
發現二：樣本內顯著性 ≠ 樣本外預測力
vix_gap 的樣本內表現令人印象深刻：
| 統計量 | 數值 |
|---|---|
| vix_gap 係數 t 統計量（樣本內） | 18.43 |
| 73 次滾動重估中係數為正的比例 | 100% |
| 滾動係數均值 | 0.918（範圍 0.561 至 1.274） |
然而，這樣的樣本內顯著性完全無法預示樣本外的 QLIKE 改善。這是計量財務文獻中「樣本內 vs. 樣本外」背離的教科書案例。
發現三：VIX 水準 vs. VRP——兩種 VIX 信息的等價性
比較 M2（HAR+vix_gap）和 M3（HAR+VIX_level）：
- QLIKE r² 差異：DM t=+1.561（p=0.119，不顯著）
- Spearman 相關係數：M2=0.384，M3=0.393（相近）
vix_gap 和 VIX 水準攜帶幾乎等量的信息 ，在 QLIKE 準則下兩者均無法顯著改善 HAR 基準。這意味著不論是使用「VIX 隱含-已實現差距」還是「VIX 絕對水準」，對 r² 目標的預測幫助相同，也就是說，研究者不需要構建複雜的 VRP 代理，直接使用 VIX 水準效果相同。
發現四：GJR-GARCH 主宰 QLIKE r² 競賽
GJR-t（M5）在 QLIKE r² 上取得 1.537 分，顯著優於 HAR 基準（M1=1.616）：
- DM(M1 vs M5) = +3.041，p=0.0024——通過 Harvey (2016) t>3.0 門檻
- 這直接確認了 K782 的核心結論： GARCH 家族在 QLIKE r² 上系統性優於 HAR
HAR 模型的強項在於對絕對報酬（|r|）的預測，而非 r² 目標。這與 K530 的發現（HAR-ABS 在 |r| 目標 DM=-15.45 優於 GJR）形成完整的鏡像結構。
技術深探：為什麼 vix_gap 傷害 QLIKE r²？
轉換問題
HAR+vix_gap 的樣本外預測需要將 |r| 預測值轉換為 r²：
σ² = |r_hat|² × (π/2) （假設正態分布）
vix_gap 86.5% 的時間為正（VIX 高估已實現波動率），使 HAR+vix_gap 的 |r| 預測值系統性偏高。平方後，這個偏誤被放大，在 QLIKE 的非對稱懲罰下造成嚴重損失。
波動率風險溢酬（VRP）的信息角色
vix_gap 均值為每日 0.00225（年化約 3.6%），這是已被文獻記錄的 波動率風險溢酬 。VRP 反映的是市場對波動率的保險需求，而非未來波動率本身的方向性預測。因此，vix_gap 對波動率 排序 （Spearman）有幫助，但對 量值 （QLIKE）預測的幫助有限。
實務意義
-
HAR 模型最適預測目標是 |r| ：若研究目標是 r² 預測（QLIKE），應選擇 GARCH 家族，特別是 GJR-t。HAR 在 |r| 目標上的優勢不會自動轉移到 r² 目標。
-
VRP 信號適合作為排序指標，而非量化預測 ：vix_gap 改善了 Spearman 排序相關（0.384 vs 0.323），這對分位數回歸或波動率 regime 識別有參考價值，但不宜直接加入 OLS HAR 框架。
-
簡潔性原則 ：HAR+VIX_level 與 HAR+vix_gap 在 QLIKE 上表現相近，而前者構造更簡單。在沒有顯著改善的情況下，複雜度不合理。
-
警惕樣本內顯著性 ：t=18.43 的樣本內係數看起來無可挑剔，但樣本外 QLIKE 反而惡化。研究者在見到高 t 統計量時，仍需謹慎評估是否伴隨真實的樣本外預測改善。
結論
K1016 揭示了波動率預測的一個根本張力：implied-realized spread（vix_gap）在預測波動率排序上有真實信息，但在量值預測（QLIKE r²）上反而有害。這個雙重發現不是矛盾，而是對不同損失函數的一致性回應。
核心教訓 ：評估準則的選擇（MSE |r| vs. QLIKE r²）不只是技術細節，它從根本上改變了哪個模型「更好」的結論。在多準則框架下，模型優劣可以完全反轉。
局限性
- 僅測試 SPY；跨資產穩健性未驗證
- |r| → r² 轉換假設正態分布，在胖尾下可能偏誤
- M4（GARCH-X）因技術限制退化，未完成有效比較
- VRP 在長樣本中的非平穩性可能影響滾動係數穩定性
實驗腳本: experiments/k1016/k1016.py，結果: experiments/k1016/k1016_results.json（數據來源：yfinance SPY/VIX 2005-2026）
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