恐懼有溢價，但不能拿來擇時：VRP 預測 SPY 報酬的失敗報告

一個流傳很廣的學術故事

在金融學界，有一條非常受歡迎的「故事線」：

投資人對未來波動的擔憂（用 VIX 衡量）通常會「過頭」，他們願意付出高於實際波動的價格去買保險，這個差距叫做  變異風險溢酬（Variance Risk Premium, 簡稱 VRP） 。把它寫成數學就是：

VRP = 隱含變異（從 VIX 推算）− 已實現變異（從歷史報酬算）

直覺上，VRP 越高，代表投資人越焦慮、越願意花錢避險，因此股票之後可能會給願意承擔風險的人更高的報酬。Bollerslev、Tauchen 與 Zhou 在 2009 年發表於頂級期刊 Review of Financial Studies 的論文，正是把這套故事變成主流：他們宣稱 VRP 對股票報酬有顯著的預測力，特別是在中短期月度尺度上。後續 Bekaert 與 Hoerova（2014, Journal of Financial Economics）也在類似框架上做了延伸。

這個結果非常吸引人。理由很簡單：如果它是真的，那一個普通投資人只要會算 VRP，就有機會在「市場最害怕的時候」加碼，在「市場最不害怕的時候」減碼，從而得到比指數投資更好的報酬。

但這份故事在 2026 年的長樣本下究竟還站不站得住？K913 這份實驗的結論非常明確： 站不住 。

這是一份誠實的失敗報告。我們在標普 500 ETF（SPY）+ VIX 上重做了這套經典框架，從 2006 年一路驗證到 2026 年初，結果幾乎在每一條檢驗線上都通不過。這篇文章把整個過程攤開來，說明我們做了什麼、看到什麼，以及為什麼這個失敗本身比成功還重要。

我們的設定

•  資料 ：SPY 每日收盤價、VIX 每日收盤價，皆來自 yfinance
•  期間 ：2006-01-03 至 2026-03-30，共 5,091 個交易日
•  VRP 計算 ：把 VIX/100 平方後年化（隱含變異），減掉「過去 22 天日報酬平方和年化」（已實現變異）
•  預測對象 ：未來 1 天、5 天、22 天的 SPY 對數報酬
•  檢定門檻 ：採用 嚴格統計（2016）對金融實證新發現的嚴格統計強度門檻
•  OOS 切分 ：2006–2018 為訓練樣本，2019–2026 為樣本外驗證
•  策略測試 ：根據 VRP 百分位調整 SPY 倉位的擇時策略，所有訊號都加上一日 lag，避免使用未來資訊

整個流程在程式內部都明確使用 signal.shift(1) 與固定隨機種子（seed=42），符合本研究系統的標準防錯規範。

第一站：VRP 本身長什麼樣子？

先看 VRP 的描述統計，這部分倒是符合既有文獻：

這張表的故事是這樣的：在過去 20 年中， 有 85.7% 的時間 VRP 是正的 ，意味著投資人對波動的「事前焦慮」確實長期高於「事後實現」。這個現象本身就是一種市場特徵，K833 也曾觀察到 78–83% 的類似比例。

而 VRP 與 VIX 之間呈現負相關（-0.24），這是個耐人尋味的事實：當 VIX 飆升時，往往是因為已實現波動劇烈上升，VRP 此時反而被拉成深度負值（左尾）。簡單講，恐懼真正爆發的那幾天，往往不是「投資人預期過頭」的日子，而是「實際波動把保險超額賠光」的日子。

第二站：VRP 能不能預測未來報酬？

這是這份實驗的核心問題。我們在三個時間尺度（日、週、月）跑預測迴歸，並使用 Newey-West 異質自相關穩健標準誤（HAC SE）來修正自相關問題。結果如下（全樣本）：

三個尺度全部沒有達到嚴格統計檢驗門檻（嚴格統計 2016 對新預測指標的建議是統計強度絕對值要大於 3.0），R² 也低到接近零。換句話說， VRP 對未來 1 日、5 日、22 日的 SPY 報酬，沒有可被信賴的線性預測力 。

加入 VIX 作為控制變數的多元迴歸，結論一致：VRP 仍然沒過門檻，VIX 自己也只在每日尺度勉強接近邊界，整體解釋力極低。

第三站：樣本外（OOS）會不會比較好？

學術上有個更嚴格的測試：把模型只用 2006–2018 的資料訓練，然後到 2019–2026 才用它預測，看看它「真的拿到沒看過的資料」時表現如何。我們用 Campbell & Thompson（2008）的 OOS R² 框架來評估：

關鍵在於  OOS R² 全部為負 。這個數字為負代表：拿 VRP 模型去預測，比直接拿「歷史平均報酬」當預測還更糟。也就是說，這個模型不僅沒有加值，還是個負貢獻。

值得提的是月尺度上方向猜對比率達到 67.2%，乍看不錯，但這個指標跟「均方誤差為基準」的 R² 不是同一回事。當你的市場長期向上走、月報酬有 60% 以上的時間是正的，「永遠猜漲」就能猜對 6 成以上。我們沒有把這個 67.2% 解讀為 VRP 的成功，而是解讀為「市場本身的多頭傾向」混進了這個指標。

第四站：分位數策略呢？

退一步問：就算線性迴歸不顯著，會不會 VRP 高的時候未來報酬特別好、VRP 低的時候特別差？我們把每天的 VRP 用滯後值（避免使用未來資訊）切成五個分位（Q1 為最低、Q5 為最高），看下一日的 SPY 報酬：

表面上 Q5 看起來真的有比較高的年化報酬，Q5 減 Q1 的價差是 20.9%。但是統計強度只有 1.12， 遠不到嚴格統計檢驗門檻 。這個 20.9% 的價差，很可能只是隨機抽樣下出現的看似有趣的雜訊。

更糟的是，Q1 → Q5 並非單調上升：Q2 比 Q3、Q4 都好，Q5 才又突然跳上去。這種不規律的分布形狀，說明訊號本身並不穩定。

第五站：把它做成一個策略，能贏指數嗎？

最後一個檢驗：把 VRP 訊號真的拿來做擇時策略。我們設計了一個簡單的規則：

持倉權重 = 0.5 + 0.5 ×（VRP 百分位 − 0.5），權重夾在 0 到 1 之間。

也就是 VRP 越高（越多人付保險費）就越加碼 SPY，VRP 越低就越減碼。訊號當然有滯後一日（shift(1)），不能偷看未來。從 2006 至 2026 共 4,839 個交易日的回測結果如下：

VRP 策略的風險調整後報酬看起來略勝、最大回撤也明顯更小（少了大約 22 個百分點）。但兩個策略的「報酬差異」做兩模型比較檢定後得到的統計強度只有 -1.53， 達不到顯著水準 ——也就是說我們無法在統計上排除「這個差距純屬運氣」。而且要注意的是，年化報酬上 VRP 策略其實「輸給」買進並持有近 3.5 個百分點。

換句話說：你少賺了報酬、降低了一些回撤，但這個改善並沒有強到可以被認定為 VRP 的真實預測力，它更像是策略設計把曝險拉低後自然會出現的副作用，跟「VRP 能預測報酬」的故事關係不大。

第六站：VRP 加進現有策略會更好嗎？

我們同時測試把 VRP 訊號疊加到本研究系列已知有效的「12/VIX 倒數」變異目標策略上。結果是：

VRP + 12/VIX 組合：風險調整後報酬 0.39 純 12/VIX 策略：風險調整後報酬 0.59

 加上 VRP 之後反而更差 。在這個情境下，VRP 不只沒有 incremental value，還會稀釋原本可行訊號的純度。這是另一個明確的負面證據。

為什麼這份「失敗」很重要？

我們在這個研究系列裡持續強調： 負面結果跟正面結果一樣值得被認真對待 。這份實驗的價值正是在這裡。

第一，它提醒我們，學術頂級期刊的經典發現，會隨著樣本期間延長、資料更新、檢定門檻提高而被翻新。Bollerslev、Tauchen 與 Zhou（2009）原始樣本是 1990–2007，K913 涵蓋 2006–2026，多了 19 年資料、多走過 2008 金融海嘯、2020 COVID 與 2022 升息循環。在這段更困難的歷史中，VRP 的預測力被稀釋掉了。這跟 Goyal 與 Welch（2008, RFS）對股權溢酬可預測性的著名批判精神一致：許多經典預測指標在 OOS 都站不穩。

第二，它跟我們先前的觀察一致。K697 已經發現 VIX 本身對未來報酬「方向」的相關性只有 0.04，幾乎是零。VRP 雖然在概念上是更精緻的版本，把已實現的部分扣掉、只留下「主觀焦慮溢價」，但事實證明，這個更精緻的版本在報酬預測上仍然不靈。波動類的訊號對「波動」的預測力很強（VIX 對未來波動的解釋力是穩健且高度顯著的），但對「報酬方向」的預測力非常薄弱。

第三，它強化了一個給一般投資人的實用結論： 「市場現在很恐懼」不是「現在該加碼」的可靠買入訊號 。恐懼溢價長期存在（85.7% 的時間 VRP 為正），但它的時間序列沒有規律到可以被擇時利用。這跟「擇時困難」的長期文獻證據一致。

限制與未來方向

我們也誠實列出這次實驗的限制：

•  已實現變異的代理 ：我們用 22 日的日報酬平方和，而非更精細的 5 分鐘高頻 RV。文獻上有研究指出 5-min RV 會讓 VRP 更乾淨，但這不一定能扭轉整體結論。
•  單一資產 ：只測 SPY。VRP 對其他市場（小盤、新興市場、債券、商品）可能有不同行為。
•  線性框架 ：我們的迴歸是線性的，VRP 也許在極端值區（例如 VRP < 0 的危機時刻）有非線性的預測力，但這需要單獨設計。
•  2019–2026 的 OOS 包含 COVID ：這段不尋常的歷史可能讓 OOS 結果偏向悲觀，但這也是它真實有用的地方，能撐過 COVID 的訊號才是真的有用。

未來可以朝幾個方向延伸：跨市場比較（這跟我們研究系列的核心方法論一致）、用更乾淨的 RV、把 VRP 拆成「上行」與「下行」分量（Kilic & Shaliastovich, 2019, RFS）、或測試 VRP 在尾部風險避險而非報酬預測上的價值。

結論

我們在 SPY 上重做了 2009 年 Bollerslev 等人的經典 VRP 預測框架，使用 2006–2026 的長樣本，得到的核心結論是：

 變異風險溢酬不能可靠地預測 SPY 報酬。 

線性迴歸不過嚴格門檻、OOS R² 全部為負、分位數價差不顯著、擇時策略無法在統計上勝過買進並持有，把 VRP 疊加到既有有效策略還會讓表現變差。這是個乾淨的負面結果。

這不代表 Bollerslev 等人的原始研究是錯的，而是說：他們的發現在更長、更嚴的樣本下沒能延續。在投資世界裡，這比「又找到一個新指標」更值得記住。 永遠先用最嚴格的標準檢驗自己最喜歡的故事 ——這正是這份研究系列的工作方式。

資料來源

• SPY 每日收盤價：yfinance（^GSPC ETF：SPY）
• VIX 每日收盤價：yfinance（^VIX）
• 樣本期間：2006-01-03 至 2026-03-30，5,091 個交易日
• 已實現變異：22 日日報酬平方和年化
• 對應實驗：K913（experiments/k913/）
• 相關前驅：K697（VIX 與報酬方向相關性 ≈ 0.04）、K833（VRP 為正的歷史比例）

參考文獻

• Bollerslev, T., Tauchen, G., & Zhou, H. (2009). Expected Stock Returns and Variance Risk Premia. Review of Financial Studies, 22(11), 4463–4492.
• Bekaert, G., & Hoerova, M. (2014). The VIX, the Variance Premium and Stock Market Volatility. Journal of Financial Economics, 111(2), 120–136.
• Campbell, J. Y., & Thompson, S. B. (2008). Predicting Excess Stock Returns Out of Sample: Can Anything Beat the Historical Average? Review of Financial Studies, 21(4), 1509–1531.
• 嚴格統計, C. R. (2016). ... and the Cross-Section of Expected Returns. Review of Financial Studies, 29(1), 5–68.
• Goyal, A., & Welch, I. (2008). A Comprehensive Look at the Empirical Performance of Equity Premium Prediction. Review of Financial Studies, 21(4), 1455–1508.
• Kilic, M., & Shaliastovich, I. (2019). Good and Bad Variance Premia and Expected Returns. Review of Financial Studies / Management Science 系列（上下行 VRP 拆解）。