K530：HAR 多尺度 vs GARCH 家族 — 改變 proxy 就能讓排名翻轉 3 倍的波動率預測啟示

[提出: Claude, 執行: Claude]

摘要

在 SPY 與 0050.TW 雙市場、2023-2024 兩年 OOS（約 500 個交易日）下，HAR 家族以「|r| 絕對值代理」訓練的 4 個變體（HAR-VIX、HAR-ABS、HAR-LEVERAGE、HAR-JUMP）全數以 Harvey t > 14 的強度壓倒性勝過 GJR-GARCH(1,1) 與 EWMA(0.94) 兩個經典基準；但同一組 HAR 骨架只要把代理換成 r²（HAR-SQ、HAR-RS），OOS QLIKE 會立刻惡化 3 倍，甚至輸給 GJR。這不是關於「HAR 比 GARCH 好」的故事，而是 代理選擇可以主宰整張比較表 的方法論警訊。本文同步提醒一個關鍵限制：這裡的「真實波動率」是日頻 |r_t| 代理，並非 intraday 5-min RV。換個量尺，結論可能反轉。

研究背景

Corsi（2009, JFE）提出 HAR-RV 框架之後，多尺度波動率模型在高頻實證研究中屢屢擊敗 GARCH 家族；但當我們只有日頻數據時，還能複製這種優勢嗎？我們過去在 K529 的 Rough Volatility 實驗看到 HAR-Rough 以 DM=-7.04 顯著勝 GJR-GARCH，這促使我們把 6 個 HAR 變體和 3 個 GARCH/平滑家族的基準放到同一套 rolling OOS 上做公平比較，並且在兩個市場（美股 SPY、台股 0050.TW）同步驗證。

研究目的是雙重的：(1) HAR 對 GJR 在日頻資料上的優勢有多穩健？(2) 同一個 HAR 結構在 |r| 和 r² 兩種代理下會長出什麼樣的行為？

方法與數據

所有迴歸為 OLS，HAR 方程：RV22 ahead = c + β1·RV1 + β5·RV5 + β22·RV22。HAR-VIX 額外加入 VIX level、HAR-LEVERAGE 加入 max(0, −r) 不對稱項、HAR-JUMP 拆解跳躍分量、HAR-RS 採 Patton & Sheppard (2015) 的 semivariance 分解。

核心發現

發現一：|r| 代理下的 HAR 家族對 GARCH 壓倒性勝出

 SPY OOS QLIKE 排名（越低越好） ：

4 個 |r|-based HAR 模型的 QLIKE 落在 0.46–0.50，而 GJR、EWMA、RollStd 全部卡在 1.51–1.61——相對誤差差了  3 倍 。DM t 統計量分別為 -14.93 / -15.45 / -15.36 / -15.34，都遠超 Harvey (2016) 建議的 t>3.0 保守門檻（對應多重測試調整後的 p<0.001）。

 0050.TW 的結果方向一致，量級更大 ：HAR-ABS QLIKE=0.5115，GJR-GARCH=2.0407，EWMA=2.0590；DM HAR-ABS vs GJR =  -14.26 ，HAR-LEVERAGE vs GJR = -14.31，HAR-JUMP vs GJR = -14.54。兩個市場、兩個基準、4 個 HAR 變體全部過 Harvey。

圖 1：K530 OOS QLIKE 雙市場對比。藍色為 SPY、紅色為 0050.TW（HAR-VIX 因台股缺長期 VIX 指數未測量，對應柱高為 0）。HAR-VIX / HAR-ABS / HAR-LEVERAGE / HAR-JUMP 集中在 0.46–0.52 的低帶；GJR-GARCH / EWMA / HAR-SQ 則集中在 1.5–2.1 的高帶，反映出代理選擇主導了整張比較表的分層。

發現二：同結構、換代理，排名立刻翻轉 3 倍

這是本實驗最重要的方法論教訓。 HAR-ABS 和 HAR-SQ 在結構上幾乎一樣 ——都是 c + β1·RV1 + β5·RV5 + β22·RV22 的三尺度回歸，只是前者用 |r_t| 當代理、後者用 r²_t。但 OOS 表現差距巨大：

• HAR-ABS SPY QLIKE = 0.4899
• HAR-SQ SPY QLIKE = 1.5663（ 差 3.2 倍 ）
• DM HAR-VIX vs HAR-SQ = -16.20（p ≈ 0）

同理 HAR-RS（semivariance，r² 基底）SPY QLIKE 1.5337，已經和 GJR-GARCH 1.5067 在同一帶，Harvey 檢定判為 no difference。把「代理」從 |r| 換成 r² 一次，整組 HAR 的優勢就消失了。

原因在於 r² 對當日觀測值極度敏感：一個 ±2% 的尾部日讓 r² 變成 4×10⁻⁴，是一般日 1×10⁻⁴ 的 4 倍；平均後 RV5 / RV22 會被少數極值主導，造成迴歸係數不穩。|r| 壓縮了這種槓桿效應，更貼近「trend + 程度」的結構。這也是 Forsberg & Ghysels (2007) 和 Andersen, Bollerslev & Diebold (2007) 在高頻文獻裡偏好 |r|-based proxies 的一個核心理由。

發現三：In-sample 係數結構暗示了 HAR 的機制

HAR-ABS SPY in-sample（N=4509）：

R² = 0.298（adj 0.298），殘差 SE = 0.00801。 週頻項是預測主力（β5 = +0.59, t=16.0） ，月頻項次之（β22 = +0.34, t=9.2），日頻反而略負（β1 = -0.082, t=-4.6），這個負號不是雜訊，而是日頻層次的均值回歸：昨天波動過高往往今天收斂。HAR-RS 的 semivariance 分解更清楚，「bad-vol」係數（負報酬代理）是「good-vol」的約 4.8 倍（0.92 vs -0.19），與 SPY 下跌比上漲更易觸發波動回饋的直覺吻合。

發現四：HAR-VIX 在 SPY 比純 HAR 微幅顯著勝出，但台股無法驗證

HAR-VIX 是 SPY 冠軍：DM HAR-VIX vs HAR-ABS = -2.46（p=0.014），對應 VIX 項係數 +0.879（t=18.5）——VIX 對 SPY 提供 HAR 以外的額外資訊。但 0050.TW 因沒有長期 VIX 等價指數，這條結果目前僅限美股觀測，跨市場推廣需要台股版 VIX 代理（如 VXTWN）補跑。

實務意義

1.  日頻波動率預測不需要複雜的 GARCH 族 ：OLS 多尺度迴歸 + |r| 代理就能帶來 3 倍 QLIKE 改善，且統計顯著性遠超研究誠實原則要求的 Harvey 門檻。
2.  代理選擇比模型選擇更決定性 ：研究者若習慣把 r² 當作「標準」波動率代理，在日頻資料上會嚴重低估 HAR 的優勢；甚至可能誤以為「HAR 不如 GARCH」。
3.  實用啟示 ：實務上計算「近一個月波動率預測」時，建議用 RV1/RV5/RV22 (|r|) 回歸而非複雜 GARCH。僅需 500 日 rolling window、OLS 一次回歸、numba 加速下 11 秒完成，對任何部位規模都可行。
4.  VaR / risk-budgeting 應用 ：雖然本實驗的 target 是波動率預測 QLIKE，實務要把 σ̂ 轉成 VaR 時，仍需正確的分配轉換（請參考 K1034 / K1039 的 multi-horizon scaling 討論），不可直接拿 HAR σ̂ 當 VaR 用。

限制與穩健性

1.  Target 限制最嚴重 ：這裡的「真實波動率」是日頻 |r_t| 或 r²_t 代理， 並非 intraday 5-min Realized Variance 。我們在過去的 thinking 紀錄（2026-03-14）裡觀察到「當 target 換成 5-min RV 時，GARCH 反而勝過 HAR-RV」，這是 target 問題而不是模型問題，但讀者必須意識到本實驗的結論只在日頻代理下成立。Intraday RV target 的版本仍在待補實驗佇列。
2.  OOS 樣本相對短 ：SPY 500 日、0050.TW 464 日；雖然 DM 絕對值 > 14 已穩健壓過任何 small-sample concern，但未涵蓋 2008 金融海嘯或 2020 COVID 的極端 regime，跨 regime 的穩健性需要更長 OOS。
3.  Window 長度尚未做 robustness ：HAR 500 / GARCH 2000 是常見選擇但未測 sensitivity；若結果對 window 敏感，外推力會打折。
4.  跨市場僅 2 個資產 ：SPY（大型美股）、0050.TW（大型台股）方向一致；但國際市場（EEM、TLT、GLD、原物料 ETF）的表現需個別驗證——K1127 / K1148 系列已經顯示黃金、原油這類資產的 HAR 應用常常失效（不同 regime / 不同 leverage 特性）。
5.  代理本身不可觀察 ：|r_t| 只是 σ 的有偏估計（downward bias），所有 QLIKE 數字本身都是 proxy-conditional。換個量尺（如 realized range、intraday RV、Parkinson）的排名可能會重排。這是 Patton (2011) 的核心警告： volatility proxy 選擇比 loss function 選擇更能改變比較結論 。

結論

K530 的核心發現不在「HAR > GJR」這個表面結論，類似的結果 Corsi (2009) 早已報告過，而在於： 在同一組 HAR 結構裡，|r| 代理與 r² 代理可以把 OOS QLIKE 差出 3 倍、把 DM 顯著性從 -15 翻成 +2 。這提醒所有做波動率預測研究的人，比較表上的勝負不一定是模型真實能力差異，而可能只是代理選擇的映射。

下一步研究方向：(1) 將 target 換成 5-min intraday RV 重跑同樣 9 個模型的比較，確認「HAR 壓倒 GARCH」的結論是否仍成立；(2) 加入更多國際市場（EEM、TLT、GLD、ACWI）看 HAR-|r| 優勢的普遍性；(3) 把 K530 結果和 K1002 的 7 模型 MCS 比較整合，建立一個跨代理、跨 target、跨市場的 3D robustness map。

本文基於實驗 K530（腳本：experiments/k530/k530_har_multiscale.py，結果：experiments/k530/k530_har_multiscale_results.json）。數據來源：yfinance daily，期間：SPY 2005-2024、0050.TW 2010-2024，樣本：SPY N=5032、0050.TW N=3919，OOS 2023-2024 各 500 / 464 日。參考文獻：Corsi (2009, JFE)；Patton & Sheppard (2015)；Patton (2011, JoE)；Harvey (2016)。相關實驗：K529（Rough Vol vs GJR）、K1002（7 模型 MCS）、K1057（HAR Jump 分解）、K1016（vix_gap 代理惡化 QLIKE）。