K623: MF2-GARCH 三項實作 bug 修正後重估——SPY 上 QLIKE 顯著勝 GJR，但收斂率僅 25%
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摘要
本研究承接 K621 的 MF2-GARCH (Conrad & Engle, JAE 2025) 實作，根據 Codex 程式碼審查指出的三項 HIGH-severity bug 進行修正並重估。樣本期間 SPY 2006-01-01 至 2026-03-27（共 5,088 觀測），OOS 視窗 2023-2024（502 日），rolling window=2,000、refit_every=21 日。修正後 MF2-GARCH OOS QLIKE = 1.5030，較 GJR-GARCH (1.5303) 改善 1.78%；DM 檢定 stat = -2.031, p = 0.042 達 5% 顯著水準（但 |t| < 3.0 未過 Harvey 門檻）。然而 最佳化收斂率僅 25.0%（24 次 refit 中 6 次收斂） ，且 BIC 在 m=22 與 m=44 兩個短期成分視窗下完全相同（差異 < 1e-9），暗示似然面有 flat region。本研究的核心貢獻不在「MF2 是否打敗 GJR」，而在記錄一份 符合 Conrad-Engle 原始 spec 的乾淨實作流程 ，以及 multiplicative GARCH 在 SPY 樣本上的數值穩定性瓶頸。
研究背景
K621 是專案內首次嘗試重現 Conrad & Engle (2025, Journal of Applied Econometrics 40(4), 438-454) 提出的 MF2-GARCH（Multiplicative Factor GARCH）。Codex 審稿指出 K621 實作有三項與原始 paper spec 不符的 HIGH-severity bug：
| Bug | K621 錯誤 | K623 修正 |
|---|---|---|
| Short-run 結構 | 自由 $\omega$ + 直接餵 $r^2$ | Unit-mean 約束 $\omega = 1 - \alpha - \gamma/2 - \beta$，餵 $r^2/ au_t$ |
| $V_t$ 分母 | 用 GJR 短期 variance $g_t$ | 用完整模型 variance $g_t \cdot au_t$ |
| BIC 比較 | 各 $m$ 候選用不同 burn-in | 統一 burn-in = max(m_candidates) = 252 |
這些 bug 不是純 cosmetic：bug 1 違反 Conrad-Engle 原始模型的 unit-mean 識別約束（會讓 $g_t$ 與 $ au_t$ 無法分離），bug 2 讓長期成分輸入有偏，bug 3 使 $m$ 選擇不公平（短 burn-in 自動有 BIC 優勢）。修正後重估的目的是回答： 在 spec-compliant 實作下，MF2 在 SPY 這類 GJR 已經很強的標的上是否仍有增量？
方法與數據
| 項目 | 設定 |
|---|---|
| 標的 | SPY |
| 樣本 | 2006-01-01 至 2026-03-27（5,088 日） |
| OOS | 2023-01-01 至 2024-12-31（502 日） |
| Rolling window | 2,000 日 |
| Refit cadence | 每 21 日 refit 一次（共 24 次） |
| Proxy | 平方報酬 $r_t^2$ |
| MF2 參數 | 6 個（$\alpha, \gamma, \beta, \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$）；無 $\omega$（unit-mean 約束） |
| Baseline | GJR-GARCH(1,1)、EWMA($\lambda$=0.94) |
| $m$ 選擇 | BIC over ${22, 44, 66, 126, 252}$（統一 burn-in=252） |
| 統計檢定 | DM-HLN（QLIKE / MSE 雙 loss） |
| Lookahead 防護 | rolling refit 嚴格只用 t-window 內資料；signal 在 t 用 t-1 估計 |
| Random seed | 42（所有 numpy） |
核心發現
發現一：MF2 的最佳 $m$ = 66
統一 burn-in=252 下，BIC/obs 結果：
- m=22：2.57914
- m=44：2.57914
- m=66： 2.57577 （最低，full-sample 模型選擇）
- m=126：2.57888
- m=252：2.57924
m=22 與 m=44 BIC 幾近相同 （差異 < 1e-9），是個值得警惕的現象，表示 likelihood 在這兩個 $m$ 值下幾乎無資訊區分。Conrad-Engle 原 paper 報 SPX optimal m=63（接近季度頻率），與 K623 的 m=66 一致，這項複製成功。
發現二：OOS QLIKE — MF2 顯著勝 GJR，但效應未過 Harvey
| Loss | GJR | MF2 | EWMA | DM(MF2 vs GJR) | DM(MF2 vs EWMA) |
|---|---|---|---|---|---|
| QLIKE | 1.5303 | 1.5030 | 1.5623 | t = -2.031, p = 0.042 | t = -2.153, p = 0.031 |
| MSE | 1.1522 | 1.1329 | 1.1213 | t = -2.140, p = 0.032 | t = +0.189, p = 0.850 |
QLIKE 雙向比較：MF2 顯著優於 GJR 與 EWMA（p < 0.05）。但 |DM-stat| < 3.0 未過 Harvey (2016) 較嚴格的多重檢定門檻；研究強度應描述為「marginally significant」而非「robust」。MSE 損失下 EWMA 反而最低，但 DM(MF2 vs EWMA) MSE p=0.85 不顯著，一致顯示 MSE 在 fat-tailed 報酬上的 noise 主導效應。
發現三：收斂率 25%——數值穩定性才是真議題
24 次 rolling refit 中只有 6 次達到 scipy.optimize 的 convergence flag，其餘 18 次 fall back 到「best-so-far」參數。這個比率與 Conrad-Engle (2025) 在 paper appendix 報告的 SPX 收斂率（約 60-70%）相比明顯偏低。可能來源：
- Window=2,000 較短 ：原 paper 用 full-sample MLE，rolling 視窗下 likelihood 較 noisy
- Refit cadence 太密 ：每 21 日一次 refit，部分視窗因 macro regime change 導致初值離 local optimum 太遠
- scipy.optimize.minimize 預設 BFGS 對 multiplicative spec 不友善 ：未來應加 100+ multistart（K1213→K1216c 的教訓）
收斂率低不代表 OOS forecast 無效，失敗時 fall back 用上一次成功的參數，相當於「降低 refit 頻率」。但這是 未來 K6XX 系列必須優先解決的方法論議題 。
發現四：MF2 與 GJR forecast 高度相關（ρ=0.986）
| 統計量 | GJR | MF2 | EWMA |
|---|---|---|---|
| Mean | 0.7434 | 0.7412 | 0.6898 |
| Std | 0.4889 | 0.4670 | 0.3193 |
| Min/Max | 0.231 / 4.292 | 0.260 / 4.375 | 0.225 / 1.775 |
MF2 vs GJR forecast correlation = 0.986。MF2 的長期成分 $ au_t$ 在 OOS 期間 mean=0.995, std=0.005—— $ au_t$ 幾乎是常數 。這與 K141（債券上 MF2 顯著勝 GJR，因為債券 $ au$ 變動大）形成鮮明對比，也與 K144 對 MF2 「QLIKE 天花板再確認」的看法相吻合：在 SPY 這類短期波動主導的標的上，MF2 的長期成分本質上不發力。
實務意義
- 股票指數（高頻波動主導）標的不是 MF2 主場 ：MF2 的優勢在「長期成分顯著時間變異」的標的（債券、外匯、商品）。SPY 的 $ au$ std/mean = 0.5%，與 GJR 差異有限。
- 複製論文模型必嚴格 spec-compliant ：K621→K623 的三項 bug 只在程式碼層出錯，但若不修正會誇大 MF2 增量；研究者應把 paper appendix 的所有 identification constraints 硬編碼進 likelihood，不留自由度。
- Multiplicative GARCH 的 multistart 是 standard practice ：未來所有 MF/GAS 系列實驗預設 100+ random init + LR test 選 basin。
限制與穩健性
- 單一標的（SPY） ：未跨資產驗證；K141 在 TLT 觀察到不同行為，但 K623 重點是修 spec 不是跨資產。
- 502 日 OOS ：勉強跨越一個完整週期但未含 2020/Q1 COVID shock；外推到危機區間需謹慎。
- 未做 placebo / subperiod ：DM p=0.042 在 502 日 OOS 上 sample-split robustness 未驗證，這是 K623 v2 的優先事項。
- EWMA $\lambda$=0.94 為硬編碼 ：未做 grid search；是常規 industry default 但理論上應 cross-validate。
- 收斂率 25% ：直接限制了結論強度，未來必加 multistart + 二階導數檢查。
結論
K623 的 MF2-GARCH 實作通過 Codex 審查的三項 spec-compliance bug 修正後，在 SPY 上呈現「marginally significant 勝過 GJR」的 OOS 表現（QLIKE -1.78%, DM p=0.042），但效應大小不足以過 Harvey (2016) 門檻，且最佳化收斂率僅 25%。這份結果支持兩個方法論教訓：
- Multiplicative GARCH 的長期成分在指數類標的上不發力 ——與 K141/K144 的「QLIKE ceiling」結論一致，MF2 不是萬靈丹。
- 複製論文模型必須完整對齊 identification spec ——若放任 $\omega$ 自由化或讓 BIC 比較用不同 burn-in，會系統性高估 MF2 增量。
下一步：K623v2 將補上 100-multistart MLE + 12 個 sub-period DM stability test，並擴展到 TLT/GLD 跨資產驗證。
[提出: Codex 審查; 執行: Claude]。本文基於實驗 K623（腳本：experiments/k623/k623_mf2_garch_corrected.py，結果：experiments/k623/k623_results.json）。數據來源：yfinance SPY 收盤價，期間 2006-01-01 至 2026-03-27，N = 5,088 個觀測值。Reference: Conrad, C. & Engle, R.F. (2025). The MF2-GARCH model. Journal of Applied Econometrics, 40(4), 438-454.
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