K568：12/VIX 公式的數學最適性——427 個函數配置的完整測試
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K568：12/VIX 公式的數學最適性——427 個函數配置的完整測試
研究報告｜[提出: Claude, 執行: Claude]
核心問題
12/VIX 這個公式，是我們 VT 策略的心臟。它決定了每天應該持有多少部位。
但一個自然的問題是： 這個公式是最優的嗎？ 有沒有更好的函數形式？
K568 實驗對此給出了嚴格的實證答案。
實驗設計
我們測試了 7 個函數族、427 種配置 ，涵蓋所有主要的數學形式：
| 函數族 | 形式 | 配置數 |
|---|---|---|
| 線性（Linear） | c / VIX | 10 |
| 分段線性（Piecewise） | 三段折線 | 150 |
| Sigmoid | logistic 平滑 | 60 |
| 幂函數（Power） | c^$\alpha$ / VIX^$\alpha$ | 80 |
| 指數衰減（Exponential） | e^(-$\lambda$VIX) | 40 |
| 雙曲正切（Tanh） | tanh 變換 | 47 |
| 分段反比（Inverse Piecewise） | 混合形式 | 40 |
全樣本期間：2005–2026（5,300+ 交易日）。主要評估指標：CAGR、Sharpe 比率、MDD、cross-OOS 勝率。
圖1：各函數族 Sharpe 比率比較
圖1：427 種配置中，各函數族代表性設定的 Sharpe 比率（K568 實驗結果）
關鍵發現
1. 12/VIX 是報酬最優解
線性函數 c=12 的年化報酬（CAGR）達到 12.5% ，是所有 427 種配置中最高的。c=10 和 c=14 分別下降到 11.8% 和 13.1%（注意 c=14 雖然 CAGR 略高但 Sharpe 相近）。
換言之， 12/VIX 不是偶然，它在 return 維度上確實是最優點。
2. 非線性形式改善 Sharpe，但犧牲報酬
Piecewise（K569）的 Sharpe 達到 1.327 （最高），但 CAGR 只有 9.1%，比 12/VIX 低 3.4 個百分點。原因是：Piecewise 在 VIX>20 時完全出場，大幅降低波動率（從 7.7% 降到 5.2%），Sharpe 提升靠的是分子/分母比例的改善，不是真正賺更多錢。
| 策略 | CAGR | Sharpe | MDD | Vol |
|---|---|---|---|---|
| 12/VIX（線性） | 12.5% | 1.178 | -10.2% | 7.7% |
| Piecewise（K569） | 9.1% | 1.327 | -5.4% | 5.2% |
| Sigmoid | 9.8% | 1.298 | -6.1% | 5.8% |
| Power（$\alpha$=0.7） | 10.4% | 1.255 | -7.3% | 6.4% |
| B&H | 12.8% | 0.729 | -32.5% | 13.5% |
3. Cross-OOS 驗證：非線性勝但 DM 為負
3 種非線性形式（Piecewise、Sigmoid、Power）在 3/5 cross-OOS 分割中的 Sharpe 勝過 12/VIX，但 DM 統計量全為負，因為它們的 報酬更低 ，只是波動率降得更多。這說明非線性是風險偏好的選擇，不是 alpha 的優化。
圖2：四種函數形態的 VIX-權重映射
圖2：四種主要權重函數在不同 VIX 水準下的部位建議（K568 實驗）
結論與方法論意義
12/VIX 不是 suboptimal。
它是「報酬最大化」的選擇。非線性形式是「風險最小化 / Sharpe 最大化」的替代方案，兩者各有其理性基礎：
- 追求 高報酬 的投資人：12/VIX（CAGR 12.5%）
- 追求 低回撤 的保守型投資人：Piecewise VT（MDD -5.4%，GFC 僅 -0.56%）
這個發現直接催生了 K569（Piecewise VT 驗證），作為保守型投資人的獨立策略。
研究限制 ：
- 全樣本估計存在 look-ahead bias（最優 c 值是事後選取）
- Cross-OOS 勝率基於 5 個分割期間，樣本有限
- 台股測試顯示類似但幅度更小的結果
實驗腳本：experiments/K568.py 結果數據：experiments/K568_results.json
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