為什麼風險模型要用「金本位分數」量？SPY 19 年的答案

一個老問題：哪個風險模型比較準？

衡量一個風險模型「好不好」，過去最常被引用的指標有兩個：VaR 違約率有沒有貼著目標（例如 1% 信心水平，違約率就該接近 1%），以及 Expected Shortfall（ES，極端損失的條件平均）有沒有低估真實尾部。

兩個指標分頭看都還合理，但 單獨拿任何一個對兩個模型做比較 ，會踩到一個漏洞：ES 在數學上不是 elicitable（Gneiting 2011 JASA 證明），也就是說，沒有單一的 loss function 能讓「對的 ES 預測得最低分」。比 ES 沒辦法用「分數最低者勝」這個標準裁。

直到 Fissler & Ziegel 在 2016 年的 Annals of Statistics 找到答案：把 VaR 和 ES 看成一個「pair」，這對組合 有 jointly elicitable 性質 ，而且存在唯一的 strictly consistent joint scoring function class。從此業界與學界有了風險模型比較的「金本位」。

K1076 就是把這套金本位拉到 SPY 19 年（2007–2026，n=4,848 筆日資料），對兩個候選做正面對決：經典的 GJR-GARCH(1,1)，與我們先前 K988 找到的贏家——A4f（一個用 VIX² 做尺度校準的 component-GARCH）。

結果一：A4f 全面顯著贏，但贏不大

FZ 分數越低越好（負得更深）。四個 spec（兩種分布 × 兩種 alpha）裡，A4f 全部贏 GJR，DM 統計量都壓過 Harvey (2016) 的 |t|>3 嚴格門檻，已是論文等級的 evidence。

但贏的幅度要看清楚：FZ 平均分數差 1.5%~4.4%，不算壓倒性。A4f 的角色更像同類模型裡 一個系統性更穩的選擇 ——每天小贏一點點，19 年累積起來才在 DM 上達到極度顯著。跟「神奇收益曲線」的故事完全是兩回事。

結果二：ES 還是低估了，兩個模型都是

風險模型最容易讓人放心過頭的部分，就是「我的 ES 看起來貼著歷史」。Acerbi-Szekely (2014) 的 Z2 test 用 bootstrap 重抽 1,000 次去看 ES 的條件期望偏差，結果寫在下表（Z2<0 代表真實尾部損失比預測大）：

兩個模型 8 個 spec 全部在 5% 水平拒絕 H₀，意思是 ES 在絕對意義上仍 under-forecast。這是 SPY 收盤價樣本的老問題：尾部事件（含 2008 金融海嘯、2020 COVID 急殺）的損失幅度超出任何 GARCH 家族 model 的條件分布假設。

A4f 沒有解決這個結構性問題，但 它的 |Z2| 一致低於 GJR ——偏誤雖在，相對精度更高。實務上的意義：模型告訴你 ES 是 −2.5%，你可能要心裡準備 −2.8%~−3.0%；如果你信的是 GJR 給的 −2.4%，那要打的折扣更大。

結果三：A4f 的優勢在「平靜期」，不是 crisis

把 19 年資料按 VIX 分四個區段（Normal α=5% spec），結果有點反直覺：

Crisis 區段樣本只有 179 天，統計力本來就不夠，所以 DM 沒過 Harvey 門檻 不代表 A4f 在恐慌期不行 ，比較像「資料還不夠多到分得出來」。

真正值得注意的是 Normal 區（VIX 15–25，常態市場那 5 年裡比例最大的時段）：DM=+4.01，A4f 在這裡顯著贏。這顯示 A4f 透過 VIX²₍ₜ₋₁₎ 校準的長期 τ 元件，主要是在「市場沒事發生時」吃下對方來不及調整的緩慢資訊。

A4f 真正的強項不在 black swan，而 落在 boring market 不會掉以輕心 。「危機時才該用更好的模型」的直覺剛好踩反，平日的小累積，才是 19 年差異的真正來源。

給讀者的三個取用方式

第一，挑 risk model 不要只看 VaR 違約率。違約率只是邊際指標；joint FZ 分數能同時懲罰過保守（VaR 太寬）與過樂觀（ES 太低）兩種錯誤，是目前學界給 risk management model comparison 的最嚴格判準。

第二，做 stress test 時別只看 crisis bucket。如果你的模型在 boring market 系統性偏離，accumulating error 才是長期 P&L 的真正殺手，這個樣本下 A4f 對 GJR 的 19 年 t=+5.08 就是這條道理的具體化身。

第三，所有 GARCH 家族在 SPY 收盤價上 ES 都會偏小。如果監管或內部風控用 ES 來定資本，留 10–20% 的 cushion 是合理的，這不算「模型錯了」，比較像收盤價資料先天的 limitation。換高頻或 intraday range estimator（K683 已驗證過）才有結構性改善空間。

對 Paper 9 的意義

K1076 是 Paper 9 risk-management section 的核心 empirical evidence。把這個結果寫進 manuscript 後，A4f 的優勢從 K988 的 QLIKE-only 擴張到 joint VaR/ES 金本位，同樣的故事在四個獨立 spec 上重複，每個都有 Harvey-level 統計顯著性，這在 risk-modeling 文獻裡屬於 rare evidence。下一步是把 ES under-forecast 的結構性偏誤獨立成一個 sensitivity 章節，並比較 Patton-Ziegel-Chen 2019 的 0-homogeneous 與 1-homogeneous FZ variants。

 實驗 K1076 ：Fissler-Ziegel joint score，SPY 2007–2026 全 OOS（n=4,848），refit window 2,000 / step 63。完整數據與重現腳本在 experiments/k1076/；參考文獻 Fissler & Ziegel (2016) Annals of Statistics 44(4):1680–1707、Acerbi & Szekely (2014) Risk 27(11)、Patton-Ziegel-Chen (2019) J. of Econometrics 211:388–413。