波動率模型沒有絕對冠軍——K777/K778：公平比較的方法論與發現

[提出: 用戶, 執行: Claude]

摘要

波動率模型沒有絕對冠軍，這不是一句模糊的安慰話，而是有嚴格統計數據支撐的方法論結論。K777 與 K778 兩個實驗（2026-03-31）共同揭示：你用什麼「評估尺」，就會得出誰是冠軍。改變量尺，排名翻轉；不換量尺，冠軍不變。這個發現對整個波動率預測文獻都有重要意義。

一、問題的起點：K770 的量尺錯誤

故事從一個被推翻的實驗說起。

K770 比較 MEM（Multiplicative Error Model）與 GJR-GARCH 的預測能力。表面上 MEM 輸了，但後來發現：K770 給 MEM 算的 QLIKE 用的是絕對報酬 |r| 作為 proxy，給 GARCH 算的卻是方差 $\sigma^2$ 作為 proxy。這等同於用公尺量第一個選手、再用英呎量第二個選手，然後說哪個「比較大」，這不是比賽，是測量誤差。

K770b 嘗試用正態分佈假設修正，把所有預測值統一轉換成同一個目標：

• 若目標是 |r|：GJR 的 $\sigma$ 乘以 √(2/π) ≈ 0.798
• 若目標是 r²：MEM 的 |r| 預測平方後乘以 π/2 ≈ 1.571

這個修正有個隱藏問題：它 假設報酬服從常態分佈 。

K777 的第一個發現就戳破了這個假設：SPY 2007–2026 的實證數據顯示，|r| 的均值相對 $\sigma$ 的比值為  0.641 ，而常態分佈預測值是  0.798 ，差距達  -19.6% 。換句話說，sqrt(2/π) 轉換在真實市場下有系統性偏差，報酬有厚尾（超額峰度 14.55），根本不是常態。

 K770b 的修正雖然方向正確，但因為假設常態而帶入了 -19.6% 的偏差。 

二、K777：用「各回各家」方法打公平一戰

K777 的設計哲學是：不要假設常態，直接讓每個模型在「它最擅長的目標空間」競技，再用 Spearman 排名相關係數做統一尺度的評估。

三個平行評估目標：

 結果：AMEM 在三個目標下全部排名第一 ，平均排名 1.0 vs GJR 的 2.0。

• 目標 |r|：AMEM Spearman $\rho$ = 0.420，GJR = 0.381（DM = -6.77，Harvey PASS）
• 目標 r²：AMEM Spearman $\rho$ = 0.420，GJR = 0.390（DM = 0.468， 不顯著 ）
• 全局排名：AMEM = 1，GJR = 2

但請注意那個「不顯著」：在 r² 目標上，AMEM vs GJR 的 DM 統計量僅 0.47（p = 0.64），遠未達到 Harvey (2016) 的 t > 3.0 門檻。AMEM 的 Spearman 優勢在 GJR 的主場幾乎消失了。

三、K778：讓 GJR 回到自己的主場

K777 對 r² 目標仍用了轉換後的 AMEM 預測（|r|² → r²），本質上還是讓 MEM 系列在 GARCH 的主場上用「借來的武器」競技。K778 更徹底：直接訓練 MEM-r² 和 AMEM-r²（以 r² 作為目標變數訓練 MEM），在完全原生的方差空間比較。

這是  Patton (2011) 的正統方法 ：只允許在預測目標的同一空間使用 QLIKE，proxy 必須是要預測的那個量。

結果非常清晰：

 GJR-GARCH 在原生 r² 空間下決定性勝出。 

完整排名（QLIKE，越低越好）：

DM 統計量確認：AMEM-r² vs GJR 的 DM =  3.78 （Harvey PASS，p = 0.00016）——GJR 顯著優於 AMEM，即使 AMEM 已經用原生 r² 訓練。

Model Confidence Set (MCS) 以 $\alpha$ = 0.1、5,000 次 bootstrap 執行，最終只有  GJR 一個模型 進入置信集，清晰排除所有競爭者。

四、關鍵洞見：不對稱性（$\gamma$）的作用遠大於分佈假設

K778 最深刻的發現是來自 兩個配對比較 ：

 配對一：非對稱 vs 對稱（同族） 

• GJR vs GARCH(1,1)：DM = 4.76（Harvey PASS）→ 加入槓桿效應 $\gamma$ 顯著改善
• AMEM-r² vs MEM-r²：DM = 2.75（Harvey FAIL，但方向一致）→ AMEM 加入 $\gamma$ 後也更好

 配對二：跨族同對稱性 

• MEM-r² vs GARCH(1,1)：DM = 0.063（p = 0.95）→  完全不顯著  → 同樣的對稱性，不同的框架，結果一樣差
• GJR vs AMEM-r²（兩者都有 $\gamma$）：DM = 3.78（Harvey PASS）→ GJR 的不對稱方式更有效

 結論 ：不對稱參數 $\gamma$ 的有無，決定了模型好壞；$\gamma$ 的實現方式（GARCH 框架 vs MEM 框架），進一步決定了精細高下。

數字說話：GJR 的平均 $\gamma$ = 0.192，AMEM 的平均 $\gamma$ = 0.072。GJR 捕捉的槓桿效應強度是 AMEM 的 2.7 倍。

五、跨期穩健性：GJR 在所有子期間勝出

K778 的子期間分析涵蓋五個不同市場環境：

唯一例外是 COVID 危機期 104 個交易日，MEM-r² 以 0.005 的微弱差距勝出，且未達統計顯著。4 個子期間穩定勝出，代表這不是特定市場環境的偶然。

六、方法論課堂：如何做「公平比較」

K777 和 K778 合在一起提供了一套完整的方法論框架：

 第一步：確認預測目標  不是所有「波動率預測」都在預測同一件事。MEM 預測 E[|r|]，GARCH 預測 Var(r)。這兩者在正態分佈下可以相互轉換，但在厚尾分佈下存在系統偏差。

 第二步：用 Patton (2011) QLIKE  QLIKE（= u/$\sigma$ - log(u/$\sigma$) - 1）是對代理噪音（proxy noise）最穩健的損失函數。Patton (2011) 證明，即使用 r² 作為真實 $\sigma^2$ 的帶噪代理，QLIKE 的排名仍然一致（consistent）；MSE 則不然。

 第三步：在同一個空間比較  若目標是 r²，所有模型的預測都必須是對 r² 的預測，要麼直接以 r² 訓練（最乾淨），要麼用實證比率轉換（非常態時比理論轉換更準）。

 第四步：用 Spearman $\rho$ + MCS 雙重確認  Spearman 捕捉排名能力（不受極端值影響），MCS 以統計嚴謹度識別「不可被排除的最佳模型集合」。Hansen, Lunde & Nason (2011) 的 MCS 是目前最嚴格的多模型比較框架。

 第五步：跨期穩健性  單一期間的冠軍可能只是運氣。至少要在前半段、後半段、危機期、非危機期各自驗證。

七、綜合結論：目標空間決定冠軍，不對稱才是關鍵

沒有絕對冠軍，但有一個 方法論優先級 ：

 若目標是 $\sigma^2$（Patton 2011 正統）：GJR-GARCH 勝。若目標是 |r|（日內風控實務）：AMEM 勝。 

實務操作建議：

•  VIX 複製、期權定價、VaR（方差空間） ：用 GJR-GARCH
•  日內觀察、絕對報酬目標、波動率過濾 ：用 AMEM
•  兩者都保留 ：組合預測可能超越單一模型（未來研究方向）

限制與待確認事項

⚠️  待 Codex K778 確認 ：K778 代碼尚未通過 Codex 正式審查（依照研究流程，代碼審查應在結果記錄前完成）。本文結論應視為初步發現，Codex 確認後若有修正將加入更正聲明。

 其他限制 ：

• 樣本僅限 SPY（美股大型股），在台股、小型股、固定收益等市場可能有不同結論
• n_oos = 4,326–4,589，統計功效足夠，但市場機制長期可能演化
• MCS bootstrap 5,000 次，$\alpha$ = 0.1，這是較寬鬆的置信水準

參考資料

• Engle & Gallo (2006), Journal of Econometrics 131 — MEM 框架
• Glosten, Jagannathan & Runkle (1993), Journal of Finance 48 — GJR-GARCH
• Patton (2011), Journal of Econometrics 160 — QLIKE proxy-robust loss function
• Hansen, Lunde & Nason (2011), Econometrica 79 — Model Confidence Set
• Corsi (2009), Journal of Financial Econometrics 7 — HAR 模型

 實驗腳本 : experiments/k777_multi_target_fair.py、experiments/k778_mem_r2_native.py

 結果數據 : experiments/k777_multi_target_fair_results.json、experiments/k778_mem_r2_native_results.json

本文基於實驗 K777/K778 的實證結果（數據來源：yfinance SPY，期間：2007–2026，OOS 樣本：4,326–4,589 日）