K1390：市場高波動期的尾部風險，根本不是同一種動物

 [提出: Claude，執行: Claude] 

摘要

本文記錄實驗 K1390 的核心發現：以 VIX 前一日是否超過閾值 20 將市場切成高波動與低波動兩個體制（regime），分別校準 conformal VaR，得到的 CR 方法是唯一同時通過 Kupiec 無條件覆蓋檢定（p = 0.918，α = 0.05；p = 0.662，α = 0.01）與 Christoffersen 條件覆蓋聯合檢定（p = 0.538，α = 0.05；p = 0.123，α = 0.01）的方法。固定單一分位數校準的 CU 方法，以及滾動歷史模擬的 HS-252，在兩個維度都顯著落敗。樣本：SPY 日報酬，OOS 期間 2015 至 2026 年（n = 2,864 日）。

研究背景

VaR 的覆蓋率檢定有兩個維度，不少研究只看第一個就停手。

第一個維度是無條件覆蓋（unconditional coverage）：在樣本期間內，損失超過 VaR 的比例，是否接近名義信心水準設定的尾部機率。Kupiec（1995）的 LR 檢定衡量的就是這件事：若超標事件數偏多或偏少，檢定就拒絕「這個 VaR 校準正確」的假設。

第二個維度是條件覆蓋（conditional coverage）：超標事件的發生，是否彼此獨立？若今天跌破 VaR，明天再跌破的條件機率比平時更高，就代表超標事件有時間群聚特性，而真實的風險遠比模型表面呈現的難以管理。Christoffersen（1998）在 Kupiec 的基礎上加入獨立性檢定，聯合兩者稱為 CC 檢定。

K1390 問的問題很直白：在市場進入高波動體制時，單一固定的 VaR 分位數校準，是否足以描述那個時期的尾部風險？或者，高波動期跟低波動期根本就是兩種分佈，不能用同一把尺量？

方法與數據

三種方法：

 HS-252 ：一年期滾動歷史模擬分位數法，每日以過去一年的日資料計算歷史損失分配的尾部。是市場最常見的計算方式，也是巴塞爾規定的標準基準之一。

 CU（Conformal Unconditional） ：用整個 IS 期間（2004-2014）的尾部分位數做一次性校準，定出固定的 VaR 閾值，在 OOS 全程不再更動。

 CR（Conformal Regime） ：同樣用 IS 期間校準，但把 IS 樣本依 VIX 體制拆成高波動與低波動兩個 bucket，各自算出一個分位數閾值。OOS 期間，前一日 VIX 超過體制閾值就套用高波動閾值，反之用低波動閾值。

OOS 的 regime 分佈：高波動 859 日，低波動 2,005 日（合計 n = 2,864）。

核心發現

覆蓋率檢定結果

CR 是唯一在兩個 α 水準上，同時通過 Kupiec 與 CC 的方法。

解讀三種方法的失敗點

 CU 的問題 ：固定校準在 OOS 期間低估了真實尾部風險。α = 0.05 的實際超標率只有 4.19%，明顯低於名義 α。從表面看像是「過度保守」，但背後的意思是這個 VaR 閾值設得比實際需要的更高，資本佔用浪費。Kupiec p = 0.041 剛好越過統計門檻，CC 檢定 p = 2.17e-05，遠低於任何合理顯著門檻。

 HS-252 的問題 ：Kupiec p = 0.563，無條件覆蓋表面上看起來沒問題。α = 0.05 的實際超標率 5.24%，貼近名義值。但 Christoffersen Ind p = 1.21e-07，代表超標事件在時序上高度群聚。一旦 SPY 在某日跌破歷史模擬 VaR，接下來幾天繼續超標的條件機率比正常日高得多。這是壓縮式崩跌的典型特徵，而滾動歷史分位數的反應太慢，急跌期會連續幾天都跌破它。CC 聯合檢定自然跟著失效（p = 7.02e-07）。

 CR 的優勢 ：把 IS 樣本拆兩個 bucket 做校準之後，高波動體制套更嚴格的 VaR 閾值，低波動體制則較寬鬆，讓模型能在不同市況下自動切換刻度。α = 0.05 的實際超標率 4.96%，幾乎貼著名義 α。Kupiec p = 0.918，說明模型對整體超標率的校準接近零偏差。CC p = 0.538，獨立性也沒問題，超標事件沒有顯著群聚。

高低波動體制的 VaR 大小差異

高波動體制的 VaR 閾值明顯大於低波動體制。以 α = 0.05 為例，CR 在高波動期給出的閾值是 2.997%，低波動期是 1.224%，比值達 2.45 倍；α = 0.01 的比值是 2.77 倍（5.40% 對 1.95%）。CU 的單一分位數（α = 0.05 時為 1.80%）是對兩個體制做混合，但市場本身並非用混合分佈崩潰。在高波動體制下，真實的 α = 0.05 閾值應該是 2.997%，而非 1.80%，差距相當顯著。一個在最危險時刻低估尾部損失的模型，給出的「保護」是虛假的。

圖表：OOS VaR backtest

下圖顯示三種方法在 OOS 期間（2015-2026）的逐日 VaR 與 SPY 報酬對比，灰色區域標記 VIX 超過體制閾值的高波動期。CR 方法（藍線）在高波動期顯著拉高 VaR 閾值，貼近實際損失分佈；HS-252（橘線）的反應則有明顯的滯後。

統計框架說明

 Kupiec（1995）LR 檢定 ：假設 VaR 完美校準，超標事件發生的機率精確等於名義 α。若觀測到的超標率與 α 的差距在統計上超過偶然範圍，就拒絕「這個 VaR 覆蓋率正確」的假設。

 Christoffersen（1998）CC 檢定 ：把 Kupiec 的覆蓋率測試，與超標事件是否在時序上獨立，合併成一個聯合 LR 統計量。CC p 值低，代表模型不只是超標率有偏差，超標事件的發生時機也有問題（例如連續幾天都超標，或都集中在某幾個月）。光看 Kupiec 通過不夠，Christoffersen CC 是更嚴格的門檻。

實務意義

這組結果的意義不只是學術上的。

VaR 模型最核心的用途，是讓風控部門知道在某個信心水準下，今天的最大損失大概是多少，進而決定資本儲備、停損線、或槓桿上限。若模型在高波動期系統性低估尾部損失，風控部門在最需要保護的時候，持有的緩衝資本最不夠。

從 CR 的結果來看，加入一個二元的 VIX 體制訊號（前一日 VIX 是否超過閾值），就足以讓 VaR 校準在 Kupiec 與 CC 兩個評估維度上都達標。不需要複雜的 GARCH 模型，不需要極值理論，只需要一個預先定義好的體制切割，加上各自的分位數查表。

體制切割的成本也很低：高波動體制在 OOS 期間佔 859 日（約三成的交易日），IS 期間的高波動 bucket 樣本數仍然夠大，校準不會因為樣本不足而不穩定。

限制與穩健性

本實驗有三個已知的邊界條件：

IS/OOS 切點設在 2014-12-31，尚未做 cutoff sensitivity 分析（±1 年）。若切點移動，IS 的 bucket 比例會有所變動，進而影響 CR 的閾值。

VIX 體制閾值（20）來自文獻慣例，本實驗沒有掃描其他閾值（例如 25、30、或動態切割）。若實際最佳切點不在此，現有結果可能是次優的。

CR 使用的是整個 IS 期間的一次性校準（single-shot），沒有做 rolling re-calibration。若市場結構在 OOS 期間發生顯著漂移，靜態校準的有效性會隨時間下降。

結論

VIX 體制拆分的 conformal VaR（CR），在 2015-2026 的 SPY OOS 測試（n = 2,864 日）中，是唯一同時通過 Kupiec 無條件覆蓋（p = 0.918；p = 0.662）與 Christoffersen 條件覆蓋聯合檢定（p = 0.538；p = 0.123）的方法。

固定單一分位數（CU）在兩個信心水準都 under-cover 且 CC FAIL。HS-252 的總超標率表面上合格，但超標事件的群聚特性在統計上無法解釋成隨機，CC 聯合 p 值接近極小值量級。

高波動體制的 VaR 閾值大幅超過低波動體制：α = 0.05 時，CR 高波動閾值 2.997% 對低波動的 1.224%，α = 0.01 時 5.40% 對 1.95%。把這兩個體制的尾部分位數合併為單一固定值，在高波動期會系統性低估尾部損失。

後續可探索的方向：VIX 體制閾值的敏感性掃描、rolling re-calibration 版本、以及把同樣的體制切割應用到 GARCH 族模型。

本文基於實驗 K1390（腳本：experiments/k1390/k1390.py，結果：experiments/k1390/k1390_results.json）。數據來源：SPY 及 VIX（yfinance），期間：2004-2026，OOS 樣本：2,864 日。