K767/K768：日頻數據就夠用——中期波動率預測與 Conformal VaR 校準
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摘要
[提出: 用戶 + 文獻搜尋, 執行: Claude]
兩個相輔相成的發現告訴我們： 中期投資人既不需要昂貴的日內高頻數據，也能讓風險模型通過監管標準。 實驗 K767 證明，用每日收盤價計算的 5 日實現波動率（5-day RV）驅動的 HAR 模型，在 22 日與 66 日預測視野完全媲美 GJR-GARCH，且優於 VIX 期限結構。實驗 K768 則發現，一個無模型假設的 Conformal 校準層，能將 Normal 分佈 GJR-GARCH 的 1% VaR 違規率從 2.017x（Basel 紅燈）壓縮至 1.242x（綠燈，通過 Kupiec 檢定）。
研究背景
精確的波動率預測是風險管理的基礎，但高頻數據（tick-by-tick、5 分鐘 K 線）昂貴且受限。另一方面，即便是經典 GJR-GARCH 模型，在正態分佈假設下也往往低估尾部風險，導致 VaR 出現系統性欠覆蓋。
本研究的兩個實驗回答同一問題的兩面：
- K767 （用戶提出）：「沒有日內數據，能預測中期波動率嗎？」
- K768 （文獻搜尋觸發，源自 arXiv:2602.03903）：「現有 GARCH VaR 不合格，有沒有不依賴分佈假設的修復方案？」
實驗設定
| 項目 | K767（HAR-RV） | K768（Conformal VaR） |
|---|---|---|
| 資產 | SPY, GLD | SPY, 50/50 SPY+GLD |
| 數據來源 | yfinance 每日收盤價 | yfinance 每日收盤價 |
| 資料期間 | 2006–2026（5,025 日） | 2005–2026（IS）; OOS 2015–2026 |
| OOS 樣本 | 4,455–4,516 日（視視野） | 2,576 日（Conformal 起算後） |
| 基礎模型 | HAR-RV 三變體 + GJR-GARCH + EWMA | GJR-GARCH（Normal 及 Student-t） |
| 評估指標 | QLIKE、OOS R²、DM 檢定（Harvey t>3.0） | Kupiec、Christoffersen、Basel 紅黃綠燈 |
| Lag 規範 | signal.shift(1)，無前視偏誤 | signal.shift(1)，無前視偏誤 |
K767：5 日 RV 就夠用，中期預測不需日內數據
技術背景
Corsi (2009) 的 HAR-RV 模型利用波動率的多尺度自相關結構，以短期（5 日）、中期（22 日）、長期（66 日）實現波動率的線性組合預測未來波動率。原始 HAR-RV 需要分鐘級數據計算日內實現波動率。
本實驗以日頻平方報酬加總（$\text{RV}N = \sum{t-N+1}^{t} r_t^2$）替代日內 RV，測試五種模型規格，比較三個預測視野（5 日、22 日、66 日）。
SPY 核心結果
5 日預測視野（週頻）：
| 模型 | QLIKE | OOS R² | DM vs GJR-GARCH |
|---|---|---|---|
| GJR-GARCH | 0.4639 | 0.3984 | — |
| HAR-5d+22d | 0.4678 | 0.3522 | DM=-0.21, p=0.83（不顯著） |
| log-HAR | 0.4813 | 0.3211 | DM=-0.95, p=0.34（不顯著） |
| VIX-implied | 0.4816 | 0.4373 | DM=-0.65, p=0.52（不顯著） |
| EWMA | 0.5555 | 0.2983 | DM=-3.25, p=0.001（★顯著） |
在 5 日視野，GJR-GARCH 在 QLIKE 上最佳，但與 HAR 系列的差異均未達 Harvey t>3.0 門檻，屬於統計上不顯著的差異。
22 日預測視野（月頻）：
| 模型 | QLIKE | OOS R² |
|---|---|---|
| VIX-implied | 0.3870 | 0.3409 |
| HAR-5d+22d | 0.3890 | 0.2547 |
| log-HAR | 0.4095 | 0.2559 |
| GJR-GARCH | 0.3932 | 0.2185 |
月頻預測上，VIX-implied 略勝，但與 HAR-5d+22d 的 DM stat 僅 -0.14（p=0.89），完全不顯著。 HAR-5d+22d 僅用日頻數據，就達到與 VIX 期限結構相當的精度。
66 日預測視野（季頻）：
| 模型 | QLIKE | OOS R² |
|---|---|---|
| HAR-5d+22d | 0.4432 | 0.1031 |
| HAR-full | 0.4433 | 0.1072 |
| GJR-GARCH | 0.4752 | -0.003 |
| EWMA | 0.9304 | -0.414 |
季頻預測是 HAR 的主場。 GJR-GARCH 在 66 日期下 OOS R² 僅 -0.003（低於基準），而 HAR-5d+22d 維持正向 R²。所有 DM 檢定均不顯著，但趨勢方向明確：越長的視野，HAR 比 GARCH 越有優勢。
為什麼 HAR 在中長期更穩健？
GJR-GARCH 擅長捕捉每日的波動率衝擊與均值回歸，適合短視野。但在 22 日、66 日， 波動率的持久性（persistence）結構比瞬時衝擊更重要 ，HAR 的多尺度設計剛好對應這個統計特性——5 日、22 日、66 日的 RV 自相關係數分別達到 0.939、0.994、0.999，幾乎完美持久。
GLD 交叉驗證
GLD（黃金 ETF）的結果呼應 SPY：在 5 日視野 log-HAR 最佳（QLIKE 0.3948 vs GJR-GARCH 0.4080），在 66 日視野 HAR-5d+22d 最佳（QLIKE 0.3979）。 跨資產一致性強化了結論的可靠性。
K768：Conformal 校準，無分佈假設的 VaR 修復
問題：Normal GJR-GARCH 的 VaR 系統性欠覆蓋
GJR-GARCH(Normal) 在 99% VaR 的違規率為 2.017% （應為 1%），即每 100 天有 2 天超過預估損失上限，是目標的 2.017 倍。Kupiec 檢定 stat=22.80（p<0.001）， Basel 評級為紅燈 ，不符合監管要求。
解法：Conformal 校準
基於 Vovk et al. (2005) 的 Conformal Prediction 框架（本實驗參考 arXiv:2602.03903），校準公式為：
\text{VaR}^{\text{校準}}_t = \text{VaR}^{\text{原始}}t + Q{$\alpha$}(\text{past residuals})
其中殘差 = 實際損失 - 原始 VaR。三種校準方法：
- 均勻加權 ：對歷史殘差取分位數
- 時間衰減 （$\lambda$=0.01）：近期殘差給較高權重
- 波動率政權加權 ：VIX 相似度 × 時間衰減雙重加權
校準結果（SPY Normal 1% VaR）
| 方法 | 違規率 | 超標倍數 | Kupiec | Basel |
|---|---|---|---|---|
| 未校準 | 2.017% | 2.017x | ❌ 拒絕 | 🔴 RED |
| Conformal 均勻 | 1.242% | 1.242x | ✅ 通過 | 🟢 GREEN |
| Conformal 時間衰減 | 1.320% | 1.320x | ✅ 通過 | 🟢 GREEN |
| Conformal 政權加權 | 1.398% | 1.398x | ✅ 通過 | 🟢 GREEN |
三種校準方法一致地將 Basel 評級從紅燈翻轉為綠燈。 均勻加權效果最佳（超標倍數 1.242x），政權加權略差（1.398x），提示 VIX 政權調整在校準層面貢獻有限。
Student-t 分佈：原本已通過，校準微幅調整
值得注意的是，GJR-GARCH(Student-t) 在 1% VaR 的原始違規率為 0.814%（低於 1%，即過於保守），Kupiec 通過（p=0.30）。施加 Conformal 後，違規率微升至 1.242–1.281%，仍在綠燈範圍內。 對 Student-t 而言，Conformal 是微調而非修復。
5% VaR 的表現
在 5% VaR 層面，Normal 分佈的原始違規率為 1.196x（輕微超標，Kupiec p=0.02），校準後降至 1.040–1.087x，且均通過統計檢定。 Conformal 在兩個信心水準均有效。
兩項發現的整合意義
這兩個實驗合在一起，描繪出一個完整的中期風險管理方案：
- 預測層（K767） ：用日頻 5 日 RV 驅動 HAR 模型，無需日內數據，22–66 日預測精度媲美 GJR-GARCH
- 校準層（K768） ：在任何預測模型之上套用 Conformal 包裝器，無模型假設地修正系統性欠覆蓋
兩層合在一起的優點：
- 低數據成本 ：只需日頻數據（免費可取）
- 分佈無關 ：Conformal 不假設特定分佈，自動適應尾部特性
- 計算輕量 ：HAR 是 OLS 線性回歸，Conformal 是分位數計算，無需複雜優化
- 監管相容 ：Basel 綠燈意味著符合市場風險資本計提要求
局限性
- 資產範圍 ：目前僅驗證 SPY 和 GLD，台股（0050.TW）等市場是否適用仍需測試
- Conformal 的適度保守性 ：均勻加權後 1.242x 仍高於 1.0x，代表 VaR 仍略寬鬆（好事，但消耗資本）
- HAR 在危機期間 ：K767 的子樣本分析顯示第一半段 log-HAR 表現更佳，第二半段（2016–2026）HAR-full 反超，顯示市場結構變化可能影響最優規格選擇
- Conformal 窗口 ：250 日最小校準歷史是人工設定，對不同市場可能需要調整
結論
實驗 K767 與 K768 共同提供了一個務實的中期波動率預測框架：用最便宜的數據（日頻收盤價），加上方法論上的嚴謹性（Conformal 校準），就能達到機構風險管理的標準。 這對資源有限的個人投資者和中型機構而言尤其重要，高頻數據的訂閱費用往往是進入障礙，而這個框架說明此障礙是非必要的。
下一步值得探索：將 Conformal 包裝器套用到 HAR 預測（而非 GARCH 預測），以及在台股市場的跨市場驗證。
本文基於實驗 K767（腳本：experiments/k767_har_5day_rv.py，結果：experiments/k767_har_5day_rv_results.json）與 K768（腳本：experiments/k768_conformal_var.py，結果：experiments/k768_conformal_var_results.json）的實證結果。數據來源：yfinance（SPY、GLD、^VIX），期間：2006–2026，OOS 樣本分別為 4,455–4,516 日（K767）與 2,576 日（K768）。
文獻參考：Corsi (2009, JFE)；Andersen et al. (2003, Econometrica)；Patton (2011, JoE)；arXiv:2602.03903（Conformal VaR）；Kupiec (1995)；Christoffersen (1998)。
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