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K622：GARCH 估計窗口到底要多大？三資產實證揭示「甜蜜點」

實驗 ID : K622 資料期間 : 2000-2026（SPY, GLD）、2003-2026（0050.TW） OOS 期間 : 2023-2024 方法 : GJR-GARCH(1,1) window size sweep，w ∈ {252, 504, 750, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000}

研究動機

GARCH 模型的估計窗口（rolling window size）是實務上必須決定但學術上缺乏共識的超參數。Feng & Zhang (2025) 提出理論 U-shape——太短參數不穩定、太長結構變遷稀釋，但缺乏多資產實證。我們用三個截然不同的資產（SPY、GLD、0050.TW）系統性地測試這個假說。

核心結果：QLIKE 隨窗口大小的變化

GJR-GARCH QLIKE by Window Size

上圖呈現三個資產在 8 個窗口大小下的 QLIKE（越低越好）。核心發現：

SPY：窗口選擇幾乎不影響

Window	QLIKE	vs Best
252	1.466	0.00%
504	1.478	+0.82%
750	1.481	+1.02%
1000	1.475	+0.61%
1500	1.480	+0.95%
2000	1.493	+1.84%
2500	1.490	+1.64%
3000	1.489	+1.57%

SPY 的 QLIKE 全距僅 1.86% （1.466 至 1.493）。最短窗口 w=252 反而最佳，但差異微乎其微。這意味著對於高流動性、長歷史的美股 ETF，窗口選擇幾乎不是個問題。

GLD：弱 U-shape，最低點在 w=1500

GLD 呈現溫和的 U-shape：短窗口（252）和長窗口（3000）都偏高，最佳在 w=1500（QLIKE=1.464）。這與 Feng & Zhang (2025) 的理論預測方向一致，但幅度不大（全距 3.14%）。

0050.TW：U-shape + 崩潰

0050.TW 是最有趣的案例：w=1500 也是最佳（QLIKE=1.470），但 w≥2500 時 QLIKE 急劇惡化 ，原因是收斂率暴跌。

收斂率分析：短歷史資產的致命問題

Convergence Rate by Window Size

上圖揭示一個關鍵問題：0050.TW 的 GARCH 收斂率隨窗口增大而急劇下降。

SPY/GLD ：所有窗口大小收斂率 >99%，穩如磐石
0050.TW ：w=252 時 97%，但 w=2500 時降至 ~73%，w=3000 更低至 ~65%

原因：0050.TW 上市僅 ~5700 個交易日（vs SPY ~6500+）。當 w=3000 時，模型只能滾動 ~2700 個窗口，且前期數據品質較低、流動性較差。大窗口吃進了 ETF 早期不成熟的交易數據。

Persistence 與窗口大小的關係

一個有趣的單調關係： persistence（$\alpha$+$\beta$）隨窗口增大而單調上升 。

Window	SPY persistence	0050.TW persistence
252	~0.955	~0.940
1000	~0.975	~0.965
2000	~0.985	~0.978
3000	~0.990	~0.983

這符合直覺：更長的歷史包含更多波動群聚事件，模型估計出更高的 persistence。但過高的 persistence 可能導致模型對新資訊反應遲鈍，這正是為什麼極長窗口的預測不見得更好。

與文獻的對比

Feng & Zhang (2025) 的 U-shape 假說

我們的結果 部分支持 這個假說：

GLD 和 0050.TW 確實呈現 U-shape（或接近）
但 SPY 完全是平的，幾乎看不到 U-shape
U-shape 的右半段（太長惡化）在 0050.TW 上極端明顯，但原因主要是收斂問題而非結構變遷

結論：U-shape 不是普適規律，而是取決於資產的歷史長度和數據品質。

實務建議

情境	建議窗口	理由
高流動性成熟市場（SPY）	w=1000-1500	任何窗口都差不多，取中間值即可
商品/另類資產（GLD）	w=1500	U-shape 最低點
新興/短歷史資產（0050.TW）	w=1000-1500	避開 w≥2500 的收斂崩潰
通用預設值	w=1000	三個資產都在前 3 名，安全選擇

核心 takeaway：w=1000-1500 是跨資產的「甜蜜點」。 對 SPY 這類成熟資產差異 <2%，但對短歷史資產則能避開收斂風險。

局限性

僅測試 GJR-GARCH(1,1)，其他 GARCH 變體（EGARCH、HAR-RV）可能有不同的窗口敏感度
OOS 僅一個期間（2023-2024），多期間 cross-OOS 可能揭示不同結論
0050.TW 的收斂崩潰可能是 arch 套件的優化器問題，換用 rugarch (R) 可能改善
未測試 expanding window 策略，理論上 expanding window 避免了窗口選擇問題

實驗腳本: experiments/k622/k622_window_sensitivity.py 結果數據: experiments/k622/k622_results.json 參考文獻: Feng & Zhang (2025); Hansen & Lunde (2005) JBES; Patton (2011) JoE [提出: Claude, 執行: Claude]