K930：MF-GJR 參數穩定性 — $\theta_1$ CV<15% 穩定但 COVID 後美股彈性顯著上升

[提出: Claude, 執行: Claude]

摘要

MF-GJR 模型的核心 VIX 彈性參數 $\theta_1$ 在三個市場（SPY、QQQ、0050.TW）中均表現穩定（CV < 15%），但 COVID-19 構成顯著結構斷裂（Chow test p < 0.01）：美股 $\theta_1$ 顯著上升，顯示 VIX 對波動率的影響力在疫情後增強。更關鍵的是，$\theta_1$ 的大小與模型預測精度（QLIKE 改善）之間無顯著相關，意味模型在不同市場環境下均 robust。

研究背景

MF-GJR（Mixed-Frequency GJR-GARCH）模型將波動率分解為長期成分 $\tau_t$（由 VIX 驅動）和短期成分 $g_t$（捕捉日內衝擊）：

$\sigma_t^2 = \tau_t \times g_t$

其中長期成分定義為：

$\tau_t = \exp(\theta_0 + \theta_1 \log \text{VIX}_{t-1})$

$\theta_1$ 代表 VIX 對長期波動率水準的彈性（elasticity），值越大，表示市場波動率對 VIX 的反應越靈敏。

 研究動機 ：模型若要用於實盤，必須確認參數在時間軸上是否穩定。若 $\theta_1$ 大幅漂移，代表 VIX 與波動率的關係已發生結構性轉變，過去估計的參數就不能直接套用於未來預測。

方法與數據

COVID-19 斷裂點設定：2020 年 3 月（全球市場第一波重大衝擊）。

核心發現

發現一：$\theta_1$ 在各資產內部穩定（CV < 15%）

三個市場的 $\theta_1$ 在估計窗口內均表現合理穩定：

跨資產排序：SPY(2.42) > QQQ(1.84) > 0050.TW(1.44)，符合直覺，美國大盤與 VIX 的連動最緊密，台股受全球 VIX 的驅動相對間接。

$\beta$（GARCH 衰減）和 persistence 是最穩定的參數，跨資產 CV 僅 0.02 左右，顯示高頻波動的持續性在全球市場中高度一致。

發現二：COVID-19 構成顯著結構斷裂

Chow test（以 COVID-19 為斷裂點）結果一致顯著：

 解讀差異 ：SPY 和 QQQ 的 $\theta_1$ 在疫情後 顯著上升 ，意味著市場波動率對 VIX 水準的反應更為激烈，全球流動性注入和演算法交易的普及可能加劇了這種關聯。

台股（0050.TW）的 $\theta_1$ 反而 略微下降 ，這可能反映 2020 年後台股市場受到半導體景氣驅動，局部因素（TSMC、AI 需求）逐漸超越 VIX 全球情緒的影響。

CUSUM 檢定進一步確認：SPY 和 QQQ 的 $\theta_1$ 在 2017-2019 年間開始累積偏移，早於 COVID 實際爆發，顯示結構轉變是漸進式的。

發現三：$\theta_1$ 大小與預測精度無顯著相關

最重要的 robustness 檢驗：$\theta_1$ 的估計值（大小）是否影響 MF-GJR 相對 GJR-GARCH 的預測改善幅度（$\Delta$QLIKE）？

Spearman 相關分析結果：

 全部不顯著 。這意味：VIX 彈性高低不決定模型表現好壞。無論在美股還是台股，無論 $\theta_1$ 大或小，MF-GJR 相對 GJR-GARCH 的預測優勢來自模型本身的結構設計，而非特定參數區間。

與基準 GJR-GARCH 的穩定性比較

MF-GJR 加入 VIX 後，並未使核心短期參數（$\gamma$、$\beta$）變得不穩定：

$\gamma$ 的對比最為驚人，標準 GJR-GARCH 的槓桿效應估計 CV 高達 69.9%，而 MF-GJR 因為將長期趨勢單獨提出，短期 $\gamma$ 反而更穩定（17.5%）。這是 MF-GJR 的設計優勢：長期分量和短期分量職責分離，避免兩者相互干擾。

實務意義

1.  參數更新頻率 ：$\theta_1$ 每季度（63 天）重估一次已足夠，不需要每日更新
2.  COVID 後需重新校準 ：若使用 2019 年以前的歷史估計，美股模型的 $\theta_1$ 可能低估。2020 年後需採用後 COVID 的參數範圍（SPY 約 2.3-2.6）
3.  台股特殊性 ：0050.TW 的 $\theta_1$ 有 下降趨勢 （p = 0.0004），代表台股與全球 VIX 的連動正在逐漸弱化。若未來繼續下滑，可能需要考慮用台灣特有指標替代或補充 VIX
4.  模型 robustness 確認 ：$\theta_1$ 與 QLIKE 改善無相關，表示 MF-GJR 在不同市場狀態下均有穩定的相對預測優勢，非只在高 VIX 時才有效

局限性

• 滾動窗口估計每 63 天更新一次，無法捕捉窗口內的子期間變化
• Chow test 的斷裂點設定為 2020 年 3 月，但實際斷裂可能是漸進式
• 0050.TW 的有效估計次數（36 次）少於美股（54 次），統計功效較低
• $\theta_1$ max 碰到 3.0 的上界（SPY），顯示估計可能受到約束，實際值可能更高

結論

MF-GJR 的 VIX 彈性參數 $\theta_1$ 兼具「內部穩定」和「跨市場差異」兩個特質：同一資產內 CV < 15%（可用），但 COVID-19 構成清晰的結構斷裂，美股疫情後 $\theta_1$ 上升 7-21%。最重要的是，$\theta_1$ 值大小不影響預測精度，模型 robust，無論在哪個市場、哪個 regime，MF-GJR 的結構性優勢來自模型本身的分解框架，而非參數的特定取值。

實驗腳本: experiments/k930/k930_parameter_stability.py 結果數據: experiments/k930/k930_parameter_stability_results.json 數據來源: yfinance 實證數據，期間: 2005-2026，三資產（SPY/QQQ/0050.TW） 參考文獻: Engle, Ghysels & Sohn (2013) RES; Conrad & Engle (2025) JAE; Patton (2011) JE