離散化策略為何在 5 列時反超連續公式？U 形保留率的機制解析

12/VIX 波動率目標（volatility targeting）策略在學術上的最優性已有文獻支撐（Moreira & Muir, 2017）。K665 把這個問題往工程面推進一層：當你把連續公式離散成 3、5、7 列查表規則，績效保留率出現了一個 U 形：5 列版本的 Sharpe 達到連續基準的 102.8%，7 列版本卻只剩 92.9%。

這個 U 形不是模型雜訊。它背後有可解釋的機制，也有邊界條件。

數據與方法

• 資產：SPY/GLD 50/50 base portfolio，訊號為前日 VIX 收盤值（1-day lag）
• 樣本：yfinance 2006-01-04 ~ 2026-03-27，5,089 個交易日，20.2 年
• 基準：連續 12/VIX 配置，每日調倉（Sharpe = 0.722，每年調倉 231.2 次）
• 比較對象：4 種離散查表版本，3 列至 7 列，閾值由研究者事前設定（非 in-sample 最佳化）

Table A 與 Table B 通過 95% retention threshold；Table C 與 Table D 未通過。

三面向比較圖

左圖：絕對 Sharpe。5 列（Table A）Sharpe = 0.742，高於連續基準 0.722。 中圖：Retention ratio 的 U 形。3 列 → 5 列 Sharpe 上升，5 列 → 7 列 Sharpe 下降。 右圖：年均調倉次數從 231 驟降至 23，10 倍差距。

U 形的機制：為什麼 5 列勝過連續？

1. 連續公式對 VIX 雜訊的過度敏感性

連續 12/VIX 每個交易日依 VIX 調倉，但 VIX 本身是有序列相關性的時間序列。VIX 每日細微波動在連續公式下觸發連續配置調整，每年累積 231 次這類微調。

這些微調本身帶有雜訊：VIX 的短期波動部分並不代表真正的風險體制轉換，而只是市場隨機噪聲。離散化在一定程度上過濾了這層噪聲，讓配置決策對應的是「體制（regime）」而非「數字」。

2. 為什麼 3 列勝過 7 列？

3 列把整個 VIX 空間分成三個大區間，意味著 15 到 25 這個佔歷史時間 27% 的區間，全部用同一個 50% 配置應對。這段範圍不夠細緻，遇到 VIX 短期從 16 跳到 24 再跳回，配置幾乎沒有反應，交易摩擦是最低的（年均 23.3 次）。

7 列把細節拆得很精細，閾值設定在 12/15/18/22/28/35，恰好對應 VIX 分布的多個百分位數。乍看之下細緻應該更好，但出現了一個問題：更多的 breakpoints 意味著 VIX 在相鄰 bucket 邊界附近反覆穿越，觸發更多低信噪比的交易（56.3 次/年，是 Table B 的 2.4 倍）。這些邊界附近的交易既沒有捕捉到有意義的體制轉換，反而引入了額外的交易雜訊。

5 列版本（Table A）找到了一個甜蜜點：閾值設在 12/16/22/30，對應歷史上比較重要的 VIX 體制邊界（低波動 vs 正常 vs 壓力 vs 危機），配置步長是 20%，每一次跨越都有足夠的信號強度支撐。

3. 成本效益的量化邏輯

如果假設每次調倉的成本為固定的 bid-ask spread + 市場衝擊，那麼：

• 連續公式：231 次 × 平均換手幅度（weight_MAE = 0 相對基準）
• Table A：39.9 次 × weight_MAE = 7.14%（相對連續）
• Table B：23.3 次 × weight_MAE = 12.65%

即使不考慮顯式交易成本（K665 的回測不含交易費），調倉次數從 231 → 39.9 的壓縮本身就等效於降低了「因過度調倉而放大雜訊」的影響。Table A 的 Retention = 1.028 隱含一個方向：在無交易成本假設下，它的微幅優勢主要來自減少雜訊回應，而非成本節省。

子期間穩定性檢驗

觀察幾個值得注意的模式：

 GFC 2008-09 ：Table B 在這段表現最差（Sharpe = -0.348），因為 VIX 從 15 以下直接跳到 80，穿越 25 的閾值時 50% → 20% 的降倉幅度和速度都比 Table A 的梯度調整更激烈。更粗的切分在極端體制轉換時反應延遲更大。

 COVID 2020 ：Table B 出現反直覺的勝出（Sharpe = 1.807 vs 連續 1.436）。原因是 COVID 期間 VIX 從 13 直衝 82，再快速回落到 20 以下。Table B 的 50% 中間帶配置在急漲後 VIX 穿越 25 時切到 20%，然後在 VIX 回落 25 以下又快速回升至 50%——這個二段式切換在 V 形反彈期恰好比連續公式更快完成。

 升息 2022 ：Table B Sharpe = -0.806，比連續的 -0.911 傷害更小。2022 的 VIX 持續在 20-35 之間高位震盪，Table B 的 15-25 bucket 讓整段維持 50% 配置，比連續公式的細緻調整更少「追跌殺進」。

 結論 ：Table A 是全樣本最優，但沒有任何單一版本在所有子期間都碾壓。Table B 在危機保護上比 Table A 更保守（GFC 除外），Table A 在牛市環境下參與度更高。

SPY-only 作為穩健性測試

在 SPY-only base（不含 GLD 避險屬性）下，Table B 的 retention 竟然更高（107.1%）。這與 SPY/GLD 50/50 的結果（Table A 最優）構成對比。原因可能是：GLD 在危機期的負相關性讓連續公式多了一層動態對沖優勢；SPY-only 下缺乏這層，Table B 粗糙但穩定的二段式降倉反而更適合應對純股票的波動體制。

這也提示了一個使用邊界：lookup table 的最佳列數對 base portfolio 的資產構成敏感。SPY/GLD vs SPY-only 的最優解並不相同。

方法論限制

1.  In-sample 閾值設計 ：所有 lookup table 的 VIX 閾值是在同一個 2006-2026 樣本內由研究者事前決定（非最佳化）。Table D 是唯一嘗試用 K652/K659 的優化閾值的版本，結果反而是 4 個中表現最差的（retention = 0.917），這本身就是一個有趣的發現：in-sample 優化的閾值並不比直覺設計更好，過擬合的跡象。

2.  無交易成本 ：K665 不含顯式交易費用。若加入每次調倉 0.1% 的假設成本，Table B（23 次/年）相對 Table A（40 次/年）的年化成本差約 0.017%，Table A 對連續（231 次）的成本優勢約 0.191%/年。這個方向上 lookup table 只會更優，不影響主要結論。

3.  VIX 使用前日收盤 ：訊號採用 1-day lag（前日 VIX 決定當日配置），對一般投資人而言是可操作的（不需盤中資訊）。但盤中 VIX 的差異可能影響結果，這是實際執行時要注意的。

4.  樣本範圍 ：2006-2026 恰好涵蓋兩次大熊市（GFC、升息）和多次牛市，但樣本始終是歷史。lookup table 的邊界（如 VIX=15/25 或 12/16/22/30）若 VIX 的長期均值漂移，需重新校準。

實驗代碼與參考

• 實驗 ID：K665，程式碼 experiments/k665/k665_lookup_table_strategy.py
• 數據來源：yfinance，SPY + GLD，2006-01-04 ~ 2026-03-27
• 參考文獻：Moreira & Muir (2017), Volatility-Managed Portfolios, JoF；前序實驗 K568（12/VIX 最優性）、K652/K659（VIX 閾值優化）