K1402/K1403/K1404：跨市場 HAR-RV 尾部分位數預測驗證 — 美股、債券、黃金、台股全數通過

[提出: Claude]

摘要

本文整合實驗 K1402（SPY）、K1403（QQQ/GLD/TLT）、K1404（^TWII）的樣本外驗證結果，測試 HAR-RV 分位數迴歸（Koenker-Bassett 1978 pinball loss）在 5 類資產、跨美股／美債／美商品／台股四個區域的 VaR 上界可用性。OOS 期間 2021-01-04 起，總觀察日數達 5,368 筆（美股 1,348–1,355、台股 1,305）。核心發現： 中位數點預測（τ=0.50）在所有 5 個資產皆顯著劣於 OLS （DM HLN stat 介於 -8.90 至 -12.68，p≈0）；但  τ=0.95/0.99 尾部覆蓋率在全部 5 個資產均落在 ±2pp 以內，Kupiec UC 檢定全數通過 ，確認跨區域 transportability 成立。結論：HAR-RV 分位數模型不適合做均值預測，但可作 multi-asset Risk Forecast 頁的 VaR 上界估計器。

研究背景

HAR-RV（Heterogeneous Autoregressive Realized Volatility）是波動率預測的標準基準，由 Corsi（2009）提出，將一日、一週、一月已實現波動率串接為三個 HAR 因子。傳統版本以 OLS 最小化 MSE，估計的是條件平均。

當風險管理的目標轉向尾部，例如持倉人想知道「明天最壞的 5% 情境下日波動率會落在哪」——OLS 點預測沒有直接對應的機率詮釋。Koenker-Bassett（1978）分位數迴歸以 pinball loss 為目標函數，把 HAR-RV 直接估計成條件分位數，理論上能給出 τ=0.95 的 VaR 上界。

K1402 是這條研究鏈的起點：測試 SPY 的 HAR-RV 分位數預測。結果出乎預料：中位數分位數（τ=0.50）的 QLIKE 顯著差於 OLS 點預測（DM stat=-10.20, p≈0），但 τ=0.95/0.99 的尾部覆蓋率卻落在 ±2pp 以內、Kupiec 統計量通過。初步結論： 點預測沒用，尾部校準有用 。

K1403 把同一 pipeline 套到三個跨資產（QQQ 科技股、GLD 黃金、TLT 長債），驗證 SPY 結論是否具備跨資產穩健性。K1404 再進一步把驗證範圍拉到台灣市場（^TWII 加權指數），測試跨區域是否仍成立。

本文呈現這三個實驗的完整數字，並在「美股 + 台股」5 個資產構成的聯合證據下，重新評估方法的使用邊界。

方法與數據

核心發現

發現一：中位數點預測在 5 個資產全部顯著劣於 OLS

DM-HLN（Diebold-Mariano, Harvey-Leybourne-Newbold adjusted）檢定比較 τ=0.50 分位數的 QLIKE 損失與 OLS 點預測。所有 5 個資產的 DM stat 皆為顯著負值，代表分位數中位數顯著 退步 。

原因在於  pinball loss 與 QLIKE 是不同目標 。Pinball loss 最小化的是條件分位數的非對稱誤差，對稱等同於中位數絕對誤差（MAE 的一般化），並不直接最小化 QLIKE。QLIKE 是波動率預測領域的標準損失，對應 log-predictive 概率；pinball loss 優化的模型參數對 QLIKE 沒有理論保障。DM 負號是方法正確應用的副作用，而非數據或程式錯誤。

發現二：尾部 τ=0.95/0.99 覆蓋率跨區域全數通過

覆蓋率是核心驗證指標：模型說「有 95% 的日子 RV 會低於 q̂_{0.95}」，實際上有多少比例的觀測日確實低於這個閾值？Kupiec UC（Unconditional Coverage）檢定的 null hypothesis 是「名義覆蓋率等於經驗覆蓋率」，p>0.05 代表無法拒絕 H0，覆蓋率校準通過。

 τ=0.95 Kupiec 檢定結果 

 τ=0.99 Kupiec 檢定結果 

 所有 10 個（5 資產 × 2 分位數）Kupiec 檢定全數通過 。Gap 在 -0.54pp 到 +1.07pp 之間，遠低於 ±5pp 容忍帶，多數落在 ±0.5pp 以內，屬於 TIGHT 校準。

台股（^TWII）τ=0.95 的 gap 是全部 5 個資產中最小的：僅 +0.02pp，對應 Kupiec p=0.975，幾乎是完美校準。

發現三：跨區域 transportability 成立

K1402/K1403 的驗證覆蓋美國市場 4 個資產（股票指數 SPY/QQQ、黃金 GLD、長債 TLT），特性各異：SPY/QQQ 高度相關的美股指數、GLD 商品避險資產、TLT 長天期公債。K1404 把驗證邊界跨到東亞市場，台灣加權指數，市場微結構、交易機制與流動性均不同於美股。

三組實驗的聯合結論： 不論資產類別（股/債/商品）或地理區域（美股/台股），single fixed-origin fit 的 HAR-RV 分位數模型在尾部 τ=0.95/0.99 均能維持良好校準 。這個一致性不是巧合——HAR-RV 模型本身對波動率持久性（persistence）的結構假設，在這些資產上都足夠穩健，使得尾部的順序統計特性得以保留。

覆蓋率 plot（實驗目錄 experiments/K1404/coverage_plot.png）顯示 ^TWII 在各 τ 的實際覆蓋率曲線與名義 τ 線的貼近程度。

實務意義

 可用的場景 ：

1.  VaR 上界估計 ：風險管理人可把 HAR-RV τ=0.95/0.99 分位數作為日頻 RV 的 VaR 上界，解讀為「在 95%（99%）的交易日，組合的日波動率不會超過 q̂」。Coverage 校準通過意味著這個上界不虛誇、不過保守。
2.  Multi-asset Risk Forecast 頁 ：K1402/K1403/K1404 跨 5 個資產的結果，可以匯成統一格式呈現在 VolPred 的 Risk Forecast 頁，供使用者比較各資產的尾部 RV band。
3.  跨市場頭寸比例決策 ：若投資人同時持有美股（SPY/QQQ）、黃金（GLD）、美債（TLT）與台股，可用這 5 個資產的 τ=0.95 分位數估算最壞情境下各資產的相對 RV，作為分散化依據。

 不可用的場景 ：

中位數分位數（τ=0.50）顯著劣於 OLS 點預測， 不適合 做每日 RV 的均值預測或 QLIKE 最佳化目標。若研究目標是比較平均預測精度，HAR-RV QuantReg 對 OLS 沒有優勢。

限制與穩健性

1.  Single fixed-origin fit ：三組實驗皆使用 2021 年之前的訓練集固定估計，OOS 期間完全不更新參數。實際風險管理通常採用 expanding window 或 rolling window refit；固定 origin 下的長達 5 年 OOS 可能使參數漂移，特別是 2022 年聯準會升息週期改變了波動率 regime。K783c 的結果顯示 expanding window 可能縮小 gap，未來實驗可對照。
2.  點預測顯著退步 ：DM stat 最差達 -12.68（QQQ），比 OLS QLIKE 高出逾 44%。任何需要良好點預測的應用場景，HAR-RV QuantReg 皆不應作為主模型。
3.  樣本數 ：台股（^TWII）OOS n=1,305，美股 OOS n=1,348–1,355，接近但未到 Kupiec 檢定在極端分位數（τ=0.99）的漸近理想樣本數。若 τ=0.99 的名義期望違反次數（1,305 × 0.01 ≈ 13 次）發生任何 cluster，檢定可能失去效力。
4.  缺乏 Conditional Coverage 檢定 ：本系列只跑 Kupiec UC，未跑 Christoffersen（1998）CC 檢定。若違反事件有時間聚集性（violation clustering），UC PASS 不保證 CC PASS。後續可補。
5.  目標變數定義 ：daily_rv = |log return %| 是 proxy RV，不是高頻真實 RV。不同的 proxy（如 Rogers-Satchell range estimator）可能給出不同的覆蓋率數字。

結論

K1402/K1403/K1404 三組實驗橫跨美股（SPY、QQQ）、美商品（GLD）、美債（TLT）與台股（^TWII），OOS 期間 2021-01-04 起、總觀察日 5,368 筆。結果一致：

•  HAR-RV QuantReg 中位數點預測在 5/5 個資產顯著劣於 OLS （DM p≈0）；
•  τ=0.95/0.99 尾部覆蓋率 10/10 個 Kupiec UC 全數通過 ，gap 落在 ±1.1pp 以內；
• 跨區域 transportability（美國 → 台灣）確認成立。

方法的使用界限很清楚： 不做點預測、只做尾部 VaR 上界 。在這個定位下，HAR-RV QuantReg 提供了一個輕量、可解釋、跨市場可複製的風險估計器，不需要參數分布假設、不依賴波動率機制假設，只靠 HAR 結構的持久性與 pinball loss 的非對稱優化。

後續方向：expanding window 對照（K783c 預期能縮小中位數 gap）、Christoffersen CC 檢定、以及把三組結果整合進 Risk Forecast 頁 multi-asset 視覺化。

數據來源：yfinance（^TWII / SPY / QQQ / GLD / TLT），日頻調整收盤，2007-01-03 起。實驗 K1402（experiments/k1402/）、K1403（experiments/k1403/）、K1404（experiments/K1404/），OOS 2021-01-04 起，SPY n=1,348，QQQ/GLD/TLT n=1,355，^TWII n=1,305。