銀行規定要算 10 天的風險值，但業界偷懶用的公式，其實跟嚴格算法一樣準

Basel III 把銀行的最低資本緩衝綁在 10 天風險值（VaR）上。監管邏輯是：給你 10 個交易日平倉，最壞能虧多少。

業界的普遍做法是拿 1 天 VaR 直接乘以 √10（約 3.16），稱為 sqrt(h) scaling。這個方法假設每天報酬獨立且同分配，算到這裡就收工了。

它夠準嗎？

我們用 SPY 和 QQQ 從 2019 年到 2026 年共 7 年的外樣本資料，跑了一次嚴格的對照實驗。

三關同時過才算合規

光說「沒超過幾次」不算數。Basel III 的標準是三關同時通過，缺一不可：

•  Kupiec 覆蓋率檢定 ：實際虧損超過 VaR 的頻率，是否與設定水準（1% 或 2.5%）相符？
•  Christoffersen CC 檢定 ：那些超過的日子，有沒有集中在特定時段（例如危機期間一起爆）？
•  Basel 顏色分區 ：根據 250 天違規次數，落在綠色（0-4 次）還是紅色（>10 次）？

三關全過稱為「Trinity PASS」。

我們的實驗（K1039）跑了 6 種模型和方法的組合，每個組合跑 2 個資產 × 2 個顯著水準 = 4 次檢定，再橫跨三個持有期（h=1、5、10 天），合計超過 60 個測試格。

數字怎麼說

以下是各組合的 Trinity 通過率（4 次檢定中幾次全過）：

幾個細節值得單獨說：

 單天期的正態分位數很危險。  GJR + 正態在 h=1 時 4 次全滅。SPY 和 QQQ 的尾部比正態分佈厚得多，1% VaR 算出來就是低估。而 A4f + CF-Rolling 在 h=1 拿到 100%，是唯一能在短期通過嚴格三關的配置。

 隨持有期拉長，正態法反而變穩。  GJR + 正態在 h=10 達到 100%，原因是中央極限定理在 10 日累積報酬上開始發揮作用，尾部肥厚的問題被稀釋了。但這個「自動修復」只在較長持有期成立，短期依然失效。

 h=10 的 75% 是小樣本問題，不是模型崩掉。  7 年外樣本，每 10 個交易日取一個非重疊區塊，只有 182 個觀測值。若設定 1% 的 VaR，期望的超限次數是 182 × 1% = 1.82 次。QQQ 的 CF-Rolling 在這個條件下給出 0 次違規，太保守了，導致 CC 和 ES 兩個子檢定因為無法計算（分母為零）而標記為 SKIP，Trinity 判定 FAIL。這不是模型預測錯了，是樣本太小讓統計檢定無法正常運作。

sqrt(h) 和精確公式，差在哪？

GARCH 族模型有一套多期條件方差的遞迴公式，能算出精確的 h 日預測方差。sqrt(h) 只是假設「每天方差一樣且獨立」的簡化版，在波動率有時序結構（高波動日後通常還是高波動）的情況下，兩者理應有差距。

實驗結果：Trinity 通過率沒差。

在 Trinity 通過率層面，兩方法的判定完全一致——8 個格子（2 資產 × 4 條件）全部得到相同的 PASS/FAIL 結果。

但需要說明檢定邊界：Trinity 是 binary 判定（綠/紅 + Kupiec/CC），這份對照沒做 Diebold-Mariano 等統計等價檢定，也沒比個別 VaR 損失函數的數值差。事實上每天的違規次數兩方法不完全相同（例如 SPY GJR sqrt(h) h=5 alpha=2.5% 有 9 次違規、精確公式 8 次；A4f h=10 alpha=2.5% 有 3 次 vs 2 次），只是這些差異不夠大到把監管色帶從綠變紅。

對實務操作者，可以說的是： 在這個樣本與這套監管門檻下，多花力氣推導 h 步方差公式不會改變合規結果 。但這不代表兩方法在所有市場條件、所有持有期、所有損失函數下都等價，換到更極端尾部或更長持有期，差距可能浮現。CF-Rolling 分位數調整對 1 日 VaR 已是必要條件，sqrt(h) 是否「夠用」要看具體用途。

分位數調整才是真正的關鍵

整場實驗裡，「用不用 CF-Rolling」比「用哪個 GARCH 模型」或「算法是否精確」重要得多。

CF-Rolling（Cornish-Fisher 滾動調整）的做法是：每 252 個交易日滾動計算報酬的偏態（skewness）和峰態（kurtosis），再把正態分位數修正成符合實際尾部形狀的值。

效果看這裡就清楚了：GJR + 正態在 h=1 是 0%，換成 CF-Rolling 立刻變 100%。同樣的 GARCH 模型，分位數調整方式不同，結果天差地別。

A4f 模型（把 VIX 水準乘以 GARCH 波動率的乘積型結構）在 h=5 上多了一格優勢：A4f + 正態拿到 100%，而 GJR + 正態只有 75%。代表 A4f 的波動率預測在中期精確度更高，不需要靠 CF 補分位數也能過關。

對投資人的意思

如果你在管理組合風險，每隔一段時間要對照最壞情況，這個實驗的實際建議是：

1. 用正態分位數算 1 天 VaR，然後直接 ×√10 報 10 天，這個流程在幾個關鍵組合上 h=1 就會失敗。真要合規，需要 CF 調整。

2. CF-Rolling 不是複雜的東西：每天更新 252 日滾動偏態和峰態，調整一個分位數。計算量很小，但效果是全勝正態的關鍵。

3. sqrt(10) scaling 本身不是問題所在。對 SPY 和 QQQ 這樣的資產，它和精確多期公式給出一樣的監管結果。複雜公式不會給你帶來額外的合規通過率。

本文基於實驗 K1039（腳本：experiments/k1039/k1039.py，結果：experiments/k1039/k1039_results.json）。數據來源：yfinance，期間：2005-2026，OOS：2019-01-01 至 2026-04-10，樣本：SPY 1827 個 OOS 觀測值，QQQ 同期。[提出: 賴奕豪, 執行: Claude]