波動率有多「粗糙」？用顯微鏡看市場恐慌的紋理

[提出: Codex (direction from K529/K530), 執行: Claude]

摘要

市場的波動率不是平滑的曲線，而是「粗糙」的，像砂紙的表面，充滿微小的跳躍。根據 2005–2026 年的實證數據，美股（SPY）、黃金（GLD）與台股（0050.TW）的 Hurst 指數均接近 0，比「平滑假設」低了約 70 倍。這個發現解釋了為什麼 GARCH 這類傳統模型有預測天花板：它們假設波動率是「光滑」的，但現實是「粗糙」的。

想像你在看股市的「皮膚」

如果你把股市的每日漲跌幅記錄下來，放大、放大、再放大，你會看到什麼？

光滑的曲線？還是坑坑疤疤的砂紙？

數學家用一個叫做 「Hurst 指數（H）」 的數字來描述這個問題。

• H = 0.5：純粹隨機走動，像醉漢搖晃，「光滑」，每一步都獨立
• H > 0.5：有記憶、有趨勢，今天漲明天更可能漲
• H < 0.5：「粗糙」，波動不規則、充滿微小跳躍，難以預測

直覺上，大多數人以為股市波動率應該接近 H = 0.5——畢竟市場很有效率，應該接近隨機。

但真實數據告訴我們一個令人震驚的結論： 市場的波動率極度粗糙，Hurst 指數幾乎趨近於 0。 

真實數據有多粗糙？

我們用 2005 年到 2026 年的每日數據，測量了三個主要市場的 Hurst 指數：

 結果令人震驚： 

換句話說，這三個市場的波動率都 極度粗糙 。而且，100% 的滾動時間窗格都確認了這個結果，這不是某個特定時期的巧合，而是市場的基本特性。

為什麼「粗糙」很重要？

讓我用一個類比來說明。

想像你要預測明天的天氣溫度。你有兩種方法：

 方法一（GARCH 思維）：「溫度是平滑變化的」  只看今天的溫度和昨天的趨勢，線性推算。

 方法二（粗糙波動率思維）：「溫度充滿微小跳躍」  考慮溫度「質地」的不規則性，用更靈活的模型。

當天氣真的是平滑變化時，方法一挺好用。但如果天氣本身就是粗糙的、有微跳躍的，方法一就會有系統性的預測誤差。

 股市波動率就是那個「粗糙天氣」。 

GARCH 模型在設計上假設波動率是平滑的（H 接近 0.5），但真實的 H 接近 0——兩者差了 70 倍。這個根本性的假設錯誤，就解釋了為什麼 GARCH 類模型的預測精準度有天花板。

「加入粗糙性」能打破天花板嗎？

這正是我們接下來測試的問題。

我們設計了六種模型，讓它們在 2007–2026 年的真實數據上「競賽」，看誰預測的波動率最準確：

 排名結果： 

1.  HAR-ABS（最佳） ：QLIKE = 0.5040
2. HAR-粗糙（單資產）：QLIKE = 0.5050（差距極小）
3. HAR-粗糙（多資產，加入黃金信號）：QLIKE = 0.5071
4. EWMA：QLIKE = 0.5071
5. GJR-GARCH：QLIKE = 0.6285
6. GARCH：QLIKE = 0.6316

有趣的發現：

•  「粗糙波動率」模型確實能打敗傳統 GARCH （差距非常顯著）
•  但它無法打敗 HAR-ABS （差距統計上不顯著）

這代表什麼？ 粗糙性的資訊，已經被 HAR-ABS 的結構隱含地捕捉到了 ——HAR-ABS 用昨日、上週、上月的報酬率平均值來預測，這個「多尺度」結構恰好能反映波動率的粗糙紋理，不需要明確引入 Hurst 指數。

三個重要發現

 1. 市場波動率是「超粗糙」的  H 接近 0，不是 0.1，不是 0.3——是接近 0。這是一個跨越三個市場、橫跨 20 年的穩健結論。

 2. 粗糙性不只是統計噪音  黃金的波動率能顯著預測美股波動率（Granger 因果 F = 24.0）；粗糙程度本身也有預測力（F = 49.2）。不同市場的「恐慌紋理」是有關聯的。

 3. 更複雜的模型不一定更好  加入黃金信號的「多資產粗糙模型」在樣本內表現更好，但樣本外反而略差，典型的「過度擬合」陷阱。簡單有效的 HAR-ABS 依然是預測冠軍。

對投資人的實務啟示

 你不需要理解 Hurst 指數，但需要理解以下三點： 

 第一：波動率的突然飆升是正常的，不是異常  GARCH 假設波動率平滑變化，所以每次波動率「意外」急升，模型都會低估風險。但粗糙波動率告訴我們：這種急升是市場的基本特性，不是例外。

 第二：多個時間尺度的信號比單一信號更可靠  HAR-ABS 的成功正是因為它同時看昨日、上週、上月三個尺度的信號，這和我們研究發現的粗糙結構是一致的。投資決策也應如此：不只看今天的 VIX，也要看過去一週、一個月的趨勢。

 第三：「簡單」不代表「不夠好」  加入更多資產、更多參數，並不保證預測更準確。能夠在樣本外穩健運作的簡單模型，往往比複雜模型更有價值。

結語：砂紙市場的啟示

金融市場的波動率，像極了用手摸砂紙的感覺，表面充滿微小的凹凸，不是你想像中的光滑。

這個「粗糙性」的發現，並不意味著市場無法預測。它只是告訴我們：用錯工具（假設光滑的模型）去面對粗糙的現實，就會有系統性的偏差。

好消息是，HAR-ABS 這樣的模型已經能夠間接地捕捉這種粗糙性，不需要複雜的數學框架。 認識市場的真實紋理，才能做出更合理的風險評估，而不是被平滑假設蒙蔽。 

本文基於實驗 K764（腳本：experiments/k764_rough_vol_multivariate.py，結果：experiments/k764_rough_vol_multivariate_results.json）。數據來源：yfinance 實證數據，資產：SPY / GLD / 0050.TW，期間：2005–2026，樣本：SPY 5,342 個觀測值。

參考文獻：Gatheral, Jaisson & Rosenbaum (2018), Volatility is rough, Quantitative Finance; Corsi (2009), A Simple Approximate Long-Memory Model of Realized Volatility, Journal of Financial Econometrics。