MF-GJR：首個通過 Harvey 門檻與 Cross-OOS 驗證的 GJR 改進模型

研究背景

波動率預測模型的「聖杯」問題：能不能找到一個比 GJR-GARCH 更好的模型，同時通過 Harvey et al. (2016) t>3.0 的嚴格統計門檻？在本研究系統累積的近 900 個實驗中，這一問題始終懸而未決。實驗 K889/K889b 給出了第一個肯定答案。

模型架構：乘法分解

MF-GJR（Multiplicative Factor GJR）的核心思想來自 Engle, Ghysels & Sohn（2013）以及 Conrad & Engle（2025）的乘法分解框架： $\sigma^2_t = \tau_t \times g_t$ 其中：

•  長期波動水準 ：$\tau_t = \exp(\theta_0 + \theta_1 \times \log \text{VIX}_{t-1})$，由前一日 VIX 指數捕捉總體恐慌情緒
•  短期波動群聚 ：$g_t$ 遵循 GJR-GARCH，以標準化殘差 $z_t = r_t / \sqrt{\tau_t}$ 估計

這種設計的直覺是：市場波動有兩個維度——VIX 反映的「今天整體有多恐慌」（長期水準），以及昨天的大跌/大漲帶來的「群聚效應」（短期動態）。純 GARCH 把兩者混在一起，MF-GJR 則將它們分開建模，再相乘得到最終預測。

與 GARCH-MIDAS（K526）的關鍵差異：GARCH-MIDAS 使用月頻 MIDAS 加權聚合長期因子，對日內波動變化反應遲緩；MF-GJR 直接使用 前一日 VIX ，每日更新長期水準，反應速度提升一個量級。

SPY 主要結果（樣本外期間：2019-01-02 至 2026-03-31，n=1,821）

以 Patton（2011）proxy-robust QLIKE on r² 為主要評估指標：

 MCS（Model Confidence Set）結果 ：MF-GARCH 和 MF-GJR 共同存活，GJR、EWMA-Factor、EWMA 全數被淘汰。

 成分分析（SPY） ：

• $\tau_t$ 貢獻總波動變異的 77.5%（長期水準主導）
• $g_t$ 一階自相關 0.869，五日自相關 0.531（短期群聚有意義但快速衰退）

QQQ 與 0050.TW 結果

QQQ 的 t=-2.949 距門檻僅差 0.05，技術上未通過但方向一致。0050.TW 不顯著的結果符合預期，美國 VIX 對台股波動的解釋力有限，台股需要本地波動因子（VKTW 或 TWD/USD）。

Cross-OOS 跨期驗證（K889b）

為排除主測試期間（2019-2026）特殊性，K889b 在 5 個不重疊的兩年期 OOS 窗口進行驗證：

 MF-GJR 在全部 5 個市場環境下均優於 GJR ，平均 QLIKE 改善 -4.24%，表現最穩定的期間為高波動的中油崩（-6.50%，Harvey PASS）。COVID 期間改善最大（-6.78%）但統計量受小樣本（n=505）影響。

為什麼 GARCH-MIDAS 失敗而 MF-GJR 成功？

K526 的 GARCH-MIDAS（使用月頻 MIDAS 加權的長期因子）在 SPY 上的 QLIKE 改善不顯著（DM t ≈ -1.6）。核心差異在時間解析度：

•  MIDAS ：月頻聚合 → 長期因子每月才更新一次 → 在 COVID 初期三月劇烈波動中，長期因子更新遲緩
•  MF-GJR ：前一日 VIX → 長期因子 每日更新  → 在市場急轉（如 2020-03、2022-09）中，能即時捕捉恐慌情緒

這解釋了為何 MF-GJR 在高波動的 COVID 期間和油崩期間表現特別突出。

局限性

1.  VIX 是市場衍生指標 ：VIX 本身包含 SPY 的隱含波動率資訊，在嚴格的外生性意義上，$\tau_t$ 並非完全外生因子
2.  VaR 1% 仍失效（Normal 分配） ：所有模型在 1% VaR 的 Kupiec 檢定均拒絕（MF-GJR 實際違規率 1.87% vs. 目標 1.00%）。需搭配 Student-t 分配才能通過。VaR 5% 的 MF-GARCH 通過 Trinity 三關（Kupiec + CC + Basel）
3.  台股不適用 ：美國 VIX 對 0050.TW 無解釋力（t=-0.086），台股需本地因子
4.  計算成本 ：MF-GJR 估計每次重估約比純 GJR 多 40-60%，大規模部署需考慮效率

結論

MF-GJR 是本研究系統首個同時達成以下兩點的模型：

1.  QLIKE 改善 -6.08%，DM t=-3.302，通過 Harvey et al. (2016) t>3.0 門檻 （SPY，2019-2026）
2.  5/5 非重疊期間均優於 GJR ，跨越 GFC 後復甦、歐債危機、油崩、COVID、AI 牛市五個截然不同的市場環境

乘法分解的核心貢獻在於：將 VIX 反映的「總體恐慌水準」（長期因子 $\tau_t$）與 GARCH 捕捉的「局部群聚效應」（短期因子 $g_t$）分開，各司其職，再組合預測。這一架構的穩健性（跨期間 std=2.20%）顯示改進並非樣本特有，而有其結構性根源。

 下一步 ：探索以台灣本地 VIX（隱含波動率指數）取代美國 VIX 應用於 0050.TW；以及搭配 Student-t 或 Hansen skewed-t 創新分配解決 VaR 1% 問題。

本文基於實驗 K889/K889b 的實證結果（數據來源：yfinance SPY + VIX，期間：2005-2026）

 實驗腳本 ：experiments/k889_multiplicative_vol_factor.py / experiments/k889b_mf_gjr_cross_oos.py  結果數據 ：experiments/k889_multiplicative_vol_factor_results.json / experiments/k889b_mf_gjr_cross_oos_results.json

 參考文獻 ：Engle, Ghysels & Sohn (2013) RES 95(3):776-797；Conrad & Engle (2025) J Applied Econometrics；Patton (2011) J Econometrics 160:246-256；Harvey et al. (2016) JBES 34:92-104