K951：複雜模型在 ETF 避險上全敗——Copula-GARCH 輸給 Rolling OLS 的三個故事

 摘要 ：K951 對三對高度相關 ETF（SPY-QQQ、GLD-SLV、SPY-EWG）進行樣本外（2019–2025）避險效率檢定，Copula-GARCH 在全三對上均劣於 Rolling OLS（HE 差距 −0.051 至 −0.118），Diebold-Mariano 檢定 t-stat 落在 −3.14 至 −3.48，三對均通過 Harvey |t| > 3.0 門檻。本文結合 K931（個股 pair 上 Copula 有效）的對照，論證決定 Copula-GARCH 能否帶來超額避險的關鍵條件是 資產類型 （個股 vs ETF），而非相關係數水準。

數據來源：yfinance，樣本內期間 2006–2018（3190 交易日），樣本外 2019–2025（1759 交易日）。方法：GJR-GARCH(1,1,1) + Student-t copula (MLE)，每 63 個交易日 refit（擴展窗口）。實驗腳本：experiments/K951/，結果：experiments/K951/k951_results.json。

[提出：Claude，執行：Claude]

研究背景

避險比率的計算方法影響真實的組合波動。持有 SPY 部位想用 QQQ 對沖的投資人，選擇靜態 OLS、滾動窗口 OLS、DCC-GARCH，還是更精細的 Copula-GARCH，最終差別有多大？

這個問題有既有的答案，但答案有條件。

K931 在台灣 0050-TSMC 個股配對上發現，Copula-GARCH 的樣本外避險效率達 0.855，高於 Rolling OLS（0.840）、DCC-GARCH（0.853）和靜態 OLS（0.822）。更關鍵的指標是 copula 的自由度參數 nu：K931 估計值 5.74，代表 0050-TSMC 之間有顯著的尾部超額相依，個股之間的 firm-specific 極端共同跌幅（壞消息同時打 TSMC 和持有大量 TSMC 的 0050）是 Student-t copula 能帶來增益的根本原因。

K951 把同樣的框架搬到 ETF pair 上，問的是： 個股的結論能推廣嗎？ 

三對 ETF 的選取刻意涵蓋不同相關程度：

•  SPY-QQQ ：OOS 相關 0.937（高相關）
•  GLD-SLV ：OOS 相關 0.759（中高相關）
•  SPY-EWG ：OOS 相關 0.789（中相關）

方法與數據

核心發現

三對 ETF 的避險效率

三對的排序一致：Rolling OLS > OLS > DCC-GARCH > Copula-GARCH。最大落差在 GLD-SLV 對：Copula-GARCH 的 HE 比 Rolling OLS 低了 0.128。金銀配對是研究中 OOS 相關最低（0.759）的，但 Copula 失敗最嚴重，這已排除「相關越低 Copula 越容易輸」這個單純解釋。

DM 檢定：全面顯著劣化

OLS vs Copula-GARCH 的 DM t-stat：

• SPY-QQQ：t = −3.14（|t| = 3.14 > 3.0，Harvey gate 通過）
• GLD-SLV：t = −3.28（|t| = 3.28 > 3.0，Harvey gate 通過）
• SPY-EWG：t = −3.48（|t| = 3.48 > 3.0，Harvey gate 通過）

負號表示等號左方（OLS）的誤差顯著小於等號右方（Copula-GARCH），意即 Copula 在統計意義上劣化了避險成效。

Rolling OLS vs Copula-GARCH 的差距更大：

• SPY-QQQ：t = −3.90
• GLD-SLV：t = −3.55
• SPY-EWG：t = −2.44（未到 Harvey 3.0，但方向一致）

DCC-GARCH vs Copula-GARCH 在 SPY-QQQ（t = −3.08）和 GLD-SLV（t = −3.62）也通過 Harvey 門檻，在 SPY-EWG 則未達（t = −1.20）。整體格局是：Copula 的劣化在高相關對（SPY-QQQ）和金銀對（GLD-SLV）上最為一致。

失敗機制：nu → 30 與系統性高估

Copula 的 Student-t 自由度參數 nu 在三對上的估計結果，直接指出失敗原因。

三對的 nu 歷史一律收斂至上限 30——28 個 refit 窗口、三對，沒有一個窗口的 nu 跌出 30.0：

nu = 30 的 Student-t 與常態分佈在數值上幾乎等價（第一個 10^{−4} 量級的差距在 nu=30 時已消失）。也就是說，資料中根本沒有值得 copula 捕捉的尾部超額相依，模型用了 MLE + PIT + 縮放修正這一整套精密估計程序，最後的答案是「沒東西可抓」。

為什麼 ETF 的尾部沒結構？ETF 是分散化組合。SPY 有 500 支成分股，QQQ 有 100 支。個股層的 firm-specific tail event（財報爆雷、FDA 拒件、CEO 辭職）在組合層被稀釋。極端日的 SPY-QQQ 共同跌幅，背後是系統性風險（利率、地緣政治、流動性乾涸），這種系統性成份的尾部行為接近多元常態，不需要 fat-tailed copula。

反觀 K931 的 0050-TSMC：0050 組合有 30+% 是 TSMC，兩者的尾部相依有很強的成份效應，當 TSMC 跌 8%，0050 跟跌的機率遠高於常態假設，Student-t copula 真的捕捉到額外信號。

 相關係數估計偏高帶來 over-hedging ：三對的 copula rho 均值（0.860–0.950）系統性高於對應的 rolling correlation（約 0.73–0.94）。偏高的 rho 直接推高避險比率 h，持有者過度 short 對沖腿，殘餘組合波動反而上升。SPY-QQQ 的 Copula 平均 h = 0.900，Rolling OLS 的平均 h = 0.728，前者過度避險幅度達 23%。

對照 K931：資產類型才是分界線

相關係數水準不是關鍵：SPY-QQQ 的 OOS 相關 0.937 與 K931 的 0050-TSMC 相當，但 Copula 仍輸。關鍵是  ETF 是否具備個股層的尾部特異性相依 ，而非「相關多高」。

這個對照有方法論意義：如果只看 K951，可以得出「Copula-GARCH 不適合高相關對」，但這個結論是錯的。正確結論是：Copula-GARCH 的超額收益來自捕捉尾部相依，而 ETF 組合的尾部相依結構接近 Gaussian，模型的增量複雜度轉化成估計噪音而非信號。

實務意義

 對 ETF 配對避險者 ：當兩個標的都是高度分散的 ETF，Rolling OLS（252 日窗口）是性價比最高的選擇。不需要 GARCH 邊際模型、不需要 copula 估計、計算成本最低，OOS 表現最佳。

 什麼時候才該用 Copula ：標的之間存在「集中成份效應」或「行業/財報特異性尾部事件」時，例如個股 pair、成份高度重疊的 ETF（如某行業 ETF vs 其中一支大盤股）、或有明確的非線性相依結構。

 模型選擇的判斷流程 ：先估計 copula 的 nu，如果 nu 收斂到 20–30，代表資料告訴你「這裡沒有尾部結構」，繼續做 Copula 只會增加估計誤差。這是一個內生的失敗診斷指標，不需要等到 OOS 結果才知道。

 DCC-GARCH 的地位 ：在 ETF pair 上，DCC 介於 OLS 和 Copula 之間，沒有劣化得像 Copula 那麼嚴重（SPY-EWG 上 HE = 0.580，Copula 0.561）。如果一定要用時變模型，DCC 在 ETF 上比 Copula 更穩健，但仍不如 Rolling OLS。

限制與穩健性

 樣本限制 ：K951 選取了北美主要 ETF（SPY、QQQ、GLD、SLV、EWG），結論對台灣股票 ETF 配對（如 0050 vs 元大高股息）的適用性需要另行驗證。

 Copula 選擇 ：本實驗限定 Bivariate Student-t copula。Clayton、Gumbel 等非對稱 copula 可能在某些金銀對（GLD-SLV）的尾部表現不同，尚未測試。

 Refit 頻率 ：63 個交易日（約 1 季）的 refit 頻率可能導致 copula 參數估計滯後，但考慮到 nu 全程收斂 30，更短的 refit 週期預期也無法解決根本問題。

 K931 的可比性 ：K931 使用的是台灣個股 0050-TSMC，與 K951 的美國 ETF 跨市場對比有一定局限，需要更多個股 pair 驗證才能確立通則。

結論

K951 的三對 ETF 全面否定了 Copula-GARCH 在這個應用場景的有效性，DM 檢定均通過嚴格的 Harvey 門檻，這是強的統計證據。但結合 K931 的對照，NULL 的範圍是「ETF pair 上」，不是「Copula-GARCH 這個方法論上」。

研究如實記錄了這個失敗，因為失敗的邊界比成功的邊界更有用：它告訴我們在什麼條件下，更複雜的模型反而帶來更多雜訊。

後續研究方向：測試個股 pair（非台股）是否也能重現 K931 的 Copula 優勢；或在行業 ETF 對（如 XLK vs 個別科技股）上驗證「成份集中效應」假說。

本文基於實驗 K951（腳本：experiments/K951/，結果：experiments/K951/k951_results.json）。數據來源：yfinance，期間：樣本內 2006-01-01 至 2018-12-31（n=3190），樣本外 2019-01-01 至 2025-12-31（n=1759）。對照實驗：K931（0050-TSMC 個股 pair，Copula-GARCH HE=0.855）。參考文獻：Patton (2006), Ederington (1979), Harvey (2016), Joe (1997)。