K877：黃金白銀比率作為波動率預測因子——樣本內顯著但樣本外 VIX 仍充分

摘要

黃金白銀比率（GS ratio，Gold/Silver price ratio）在樣本內（IS）對 SPY 波動率有顯著增量解釋力，偏相關係數 t = 6.12，控制 VIX 後仍成立。但在嚴格的樣本外（OOS）DM 檢定下，所有 GS ratio 模型均未通過 Harvey et al. (1997) 的高門檻（|t| > 3.0），最佳模型 DM t = 2.64。研究結論： VIX 對未來波動率的預測力已充分吸收了 GS ratio 的資訊 ，加入 GS ratio 無法在嚴格統計意義下改善預測。數據期間 2007–2026，樣本數 4,741（OOS 1,801），方法為 HAR 類線性回歸 + 擴展窗口 OLS。

研究背景

2026 年 5 月，黃金現貨報價約 3,300 美元/盎司，逼近歷史高位；GS ratio 目前約在 10，明顯高於 2007 年以來的歷史均值 7.2。市場對「黃金能否預測股市風險」的討論升溫，讓 GS ratio 作為波動率預測因子的研究具備即時意義。

GS ratio 的預測邏輯有其依據。黃金通常在市場恐慌中上漲（避險需求），白銀因工業屬性受景氣拖累。當投資人迴避風險性工業金屬，GS ratio 就會上升。Baur & Lucey (2010) 記錄了黃金作為避險資產的特性，Morales & Andreosso-O'Callaghan (2011) 則指出 GS ratio 攜帶獨立的市場情緒訊號。

如果 GS ratio 確實能預測未來股市波動，它就可能成為 VIX 的輔助指標，在 VIX 尚未反映某些市場壓力時提前發出警號。本研究使用近 19 年 SPY 日資料，在嚴格 OOS 框架下檢驗這個假說。

方法與數據

GS ratio 以 GLD 收盤價除以 SLV 收盤價計算。測試三種規格：水準值（GS_ratio）、一階差分（GS_change）、z 分數（GS_zscore）。所有規格都與 VIX 做 augmented 模型，並與 VIX only 基準比較。

核心發現

發現一：GS ratio 在樣本內有顯著增量預測力

控制 VIX 後，三個 GS ratio 變體的偏相關 t 值全部高度顯著：

VIX 與 GS ratio 的原始相關係數僅 0.082，共線性低，因此偏相關 t 值高並非 VIX 的複影，GS ratio 確實攜帶樣本內增量資訊。

發現二：樣本外 DM 檢定全部不通過 Harvey 門檻

圖一：各 GS ratio 變體的樣本內偏相關 t 值（控制 VIX 後）高度顯著，但對應的 OOS DM t 值均未突破 Harvey 門檻 3.0。GS_change 與 GS_zscore 在 OOS 呈現負向 DM t，代表加入這兩個變體後比 VIX 基準更差。

數字解讀：

•  VIX + GS_ratio  的 DM t = 2.64，p = 0.0084，統計上看似接近顯著，但 Harvey 門檻是 3.0（針對金融預測多重比較的修正）。差一點卻未過關，統計結論只能是「無法拒絕 VIX 已充分的虛無假設」。
•  VIX + GS_change 和 VIX + GS_zscore  的 DM t 為負數（-2.33 和 -2.67），代表加入這兩個變體後 OOS 誤差反而高於 VIX 基準。儘管樣本內 t 分別達 13.07 和 13.99，OOS 卻更差，IS 高 t 並不保證 OOS 表現。
•  GS_ratio only （不含 VIX）的 OOS R² = -4.2%，黃金白銀比率單獨用於預測 SPY 波動率幾乎無效。

發現三：OOS R² 與 QLIKE 的矛盾訊號

圖二：OOS R² 的排序顯示 GS_zscore 最高（16.3%），但 QLIKE 顯示同一模型損失遠高於 VIX 基準（1,566 vs 607）。MSE 基礎的 OOS R² 與 QLIKE 捕捉不同面向的誤差，在波動率預測中 QLIKE 是更嚴謹的損失函數（Patton 2011）。

VIX + GS_zscore 的 OOS R²（16.3%）看起來比 VIX only（13.5%）更高，但同一模型的 QLIKE = 1,566，遠差於 VIX only 的 QLIKE = 606.6，DM 檢定也確認它比基準更差（DM t = -2.67）。

這個差異說明：MSE 基礎的 OOS R² 對極端波動率期間的大誤差懲罰不足，QLIKE 因為用 log-likelihood 結構對大誤差有更敏感的懲罰。在金融波動率預測中，QLIKE 是更適切的損失函數；OOS R² 只是補充參考。

IS vs OOS 落差：VIX 充分性的解釋

樣本內 t = 13.99 是貨真價實的統計顯著，OOS 卻全部落敗。這個落差有三個互補解釋。

 市場定價效率 。VIX 由專業做市商持續定價，吸收選擇權市場所有可用資訊。如果 GS ratio 攜帶的風險資訊在市場上可觀察，套利交易會將它快速反映進 VIX。樣本內係數捕捉了「歷史上 GS ratio 對 VIX 未反映部分的解釋力」，但 OOS 預測時 VIX 已即時消化這部分資訊。

 非線性與情境轉換 。線性 HAR 模型無法捕捉 GS ratio 在金融危機（2008、2020）、地緣政治衝擊（2022 俄烏）、通膨轉型（2022-2023）等不同情境中可能截然不同的行為。IS 訓練的係數未必在 OOS 各情境中穩定。

 OOS 期間的結構差異 。OOS（2019-2026）包含 COVID 黑天鵝（VIX 觸及 80+）、通膨衝擊、AI 驅動牛市三段迥異結構。IS 擬合的線性關係外推到這些特殊情境，穩定性有限。

實務意義

這份研究產出清晰的負面結果，對實務同樣重要：

1.  VIX 已是充分統計量 （對目前的線性 SPY 波動率預測任務而言）。額外監看 GS ratio 對改善預測精度幫助有限，VIX 已捕捉主要資訊。

2.  樣本內高 t 值不等於樣本外可靠訊號 。GS_change 的 IS 偏相關 t = 13.07，但 OOS DM t = -2.33（比基準更差）。高 IS t 只是分子，還需要 OOS 驗證才能成為可用訊號。

3.  目前 GS ratio 偏高（約 10，均值 7.2）對波動率預測的含義有限 。雖然 GS ratio 歷史均值以上代表市場在歷史上對貴金屬配置偏向避險，但在線性框架下，這個訊號在 OOS 無法可靠轉化為波動率預測優勢。

限制與穩健性

•  線性假設 ：本研究採用 HAR 類線性回歸，GS ratio 可能與波動率存在閾值效應或非線性交互，這部分未被捕捉。
•  SPY 單一資產 ：結論僅適用於 SPY 股票波動率，不能直接推廣至台股、VIX 期貨、商品市場。
•  ETF 代理誤差 ：使用 GLD/SLV ETF 計算 GS ratio，而非現貨黃金白銀比率，有少量追蹤誤差和流動性差異。
•  OOS 期間特殊性 ：2019-2026 涵蓋多個極端事件，換用其他 OOS 子期間結論可能不同。
•  多重比較 ：本研究測試多個 GS ratio 變體，Harvey 門檻是針對此問題的修正，但邊際顯著結果仍需謹慎詮釋。

結論

GS ratio 在控制 VIX 後的樣本內偏相關 t 值達 6–14，確實攜帶市場情緒資訊。但在 Harvey (1997) OOS 嚴格框架下，所有 GS ratio 規格均未通過 |t| > 3.0 門檻。

VIX 充分性假說維持成立： 對目前線性 HAR 框架而言，VIX 已是充分統計量，GS ratio 無法在樣本外提供統計上可靠的增量預測力。 

後續值得探索：GS ratio 在 VIX 情境轉換（低/正常/高恐慌體制）中是否有非線性交互效應；以及跨資產延伸，測試 GS ratio 對商品波動率（原油、銅）是否有更直接的預測能力。

本文基於實驗 K877（腳本：experiments/k877/k877_gold_silver_ratio.py，結果：experiments/k877/k877_results.json）。資料來源：yfinance（GLD、SLV、SPY、^VIX），期間：2007-04-30 至 2026-03-03，樣本數：4,741 個交易日。[提出: Claude, 執行: Claude]

參考文獻：Baur & Lucey (2010) Finance Research Letters；Patton (2011) J. Econometrics 160；Harvey et al. (1997) J. Finance；Harvey et al. (2016) Review of Financial Studies（多重比較門檻 t > 3.0）。