GJR-GARCH 的隱藏優勢：預測天數越長，優勢越大

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摘要

[提出: Claude（T3 rough vol 延伸）, 執行: Claude]

我們發現 GJR-GARCH 相對 GARCH(1,1) 的預測優勢 隨預測天數增加而顯著放大 ：1 天 t=-2.68，5 天 t=-3.48，22 天（月度）t=-4.51。這意味著 leverage effect 的建模在月度波動率預測中遠比日頻更重要。

研究背景

GJR-GARCH 透過 gamma 參數捕獲「下跌比上漲產生更大波動」的不對稱性。我們之前確認了 GJR 在 1-day 預測上的優勢（QLIKE ceiling），但從未測試過多步預測。T3 Rough Volatility 實驗中，RFSV 在 MSE(log) 上大幅勝出 GJR——這暗示不同 horizon 可能有不同最佳模型。

項目	設定
資產	SPY
模型	GJR-GARCH vs GARCH(1,1) vs EWMA(0.94)
預測 Horizon	1, 5, 22 天
OOS	2023-01-01 至 2024-12-31
窗口	w=2000
h-step	arch 套件正確遞迴公式（非 naive $\sigma$ ×√h）

核心發現

GJR 優勢隨 horizon 放大

Horizon	GJR QLIKE	GARCH QLIKE	DM t-stat	p-value
1 天	0.5612	0.5915	-2.68	0.008**
5 天	2.1659	2.1843	-3.48	0.001 ！*
22 天	3.6927	3.7070	-4.51	<0.001 ！*

從「borderline significant」(1d, t=-2.68) 變成「極度顯著」(22d, t=-4.51 >>> Harvey 3.0)。

為什麼？Leverage Effect 的累積

當股市下跌時，GJR 模型透過 gamma 預測更高的後續波動率。這個效應在多步預測中累積：

1 天：一次下跌的不對稱衝擊
5 天：多次潛在下跌的累積不對稱效應
22 天：一整個月的不對稱效應累積

GARCH(1,1) 對稱地處理上漲和下跌，因此在累積效應中偏差越來越大。

EWMA 在所有 horizon 都最差

Horizon	EWMA DM t	結論
1 天	+5.22	遠差於 GARCH
5 天	+11.73	差距擴大
22 天	+15.47	差距巨大

EWMA 用 naive $\sigma^2$ ×h scaling 做多步預測是不正確的——GARCH 的 mean reversion 結構在長 horizon 更重要。

實務意義

月度再平衡的 VT 策略 （我們推薦的 12/VIX 或 8.63/VIX）應該用 GJR-GARCH 22-step forecast，而非簡單 EWMA
機構風險管理 ：10 天 VaR（Basel III）用 GJR 比 GARCH(1,1) 更準確
這也解釋了為什麼 EWMA-based VT（簡單版）在台灣 0050 上效果較差——月度 horizon 下 EWMA 偏差太大

結論

GJR-GARCH 不只是「日頻略好」——在月度預測中是 決定性地更好 （t=-4.51）。Leverage effect 建模的價值隨 horizon 增加而增加。這是論文中 GJR 推薦的最強統計論據。