台指期報酬的尾巴有多厚？改換分布假設後，夜盤訊號還剩多少力道
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摘要
上一篇我們報告了一個令人沮喪的否定答案：把台指期日盤與夜盤分開建模，加入夜盤報酬作為外生變數，在樣本外完全沒有預測力（K1100G_D2，Normal 分布，OOS pseudo-LRT χ²≈0，QLIKE 惡化 0.48%）。
K1100G_D3 換了一個問題： 那個失敗，有多少是分布假設的錯？
台指期日盤報酬的超額峰度（excess kurtosis）是 6.77，夜盤更高達 12.0。Normal 分布在這種資料上做 QML 估計，等於用一把刻度不準的尺量了一份極度厚尾的材料。換成 Student-t（允許估計自由度參數），OOS QLIKE 改善 3.78%，pseudo-LRT χ²=14.6（p=0.00013，近似值）。兩個子期間都方向一致。
但 DM-HLN t 統計量是 1.92，本文採用的 Harvey-style 強宣稱標準（|t|>3.0）未達到。
分布假設的更換帶來改善，但訊號強度仍不足以構成強而有力的結論——這是 K1100G_D3 的核心發現，也是本文如實呈現的部分。
研究背景
前傳：Normal 分布 OOS 的完全失敗
K1100G_D1 在全樣本（IS）LRT 發現夜盤外生變數顯著（χ²=12.48，p=0.0004）。接著 K1100G_D2 做了樣本外驗證，結果翻轉：OOS pseudo-LRT χ²≈0，DM t=−0.21，QLIKE 惡化 0.48%。看起來 D1 的 IS 訊號是過配（overfitting）或幸運，與直觀相反。
核心問題是：前期 OOS 評估的失敗，多大程度上可歸因於 Normal 分布的誤設（mis-specification），而非模型設計本身？
為什麼厚尾會讓評估出錯
Normal QML 的參數估計量在 GARCH 模型下即使分布誤設也具一致性，這是教科書上的漸近保證。但在有限樣本下，Gaussian 誤設改變了參數估計路徑與條件變異數序列，進而影響 QLIKE 對兩個模型的排名——厚尾真實分布讓 Normal-based 路徑估出來的條件變異數失真，拉低了 QLIKE 對模型差異的辨識力。
台指期的超額峰度是這個問題的具體化：
| 序列 | 超額峰度 | 偏態 |
|---|---|---|
| 日盤報酬 | 6.77 | −0.47 |
| 夜盤報酬 | 12.00 | −1.61 |
| 日夜合併 | 9.67 | −0.49 |
夜盤的偏態 −1.61 特別值得注意：左偏很重，代表夜盤的下跌事件比 Normal 預測的頻繁且猛烈得多。
方法與數據
| 項目 | 設定 |
|---|---|
| 資料來源 | TAIFEX TX 2017-01 至 2021-12 |
| 對齊交易日 | 1,077 個（日盤與夜盤均有資料的交易日） |
| 模型核心 | PRG（Periodic GARCH，τ×g 乘法結構） |
| IS 估計期 | 2017-2021 全樣本，共 1,077 觀測 |
| OOS 訓練初始 | 2017-01 至 2019-12（613 日） |
| OOS 測試期 | 2020-01 至 2021-12（464 日） |
| OOS 方法 | Expanding window，每 5 日 refit |
| 分布假設 | Normal（QML，複製 D1/D2）vs Student-t（MLE，本實驗） |
| 評估指標 | QLIKE、LRT、DM-HLN（Harvey et al. 1997）、VaR Trinity |
Student-t 設定 ：scale² = h·(df−2)/df，確保模型條件變異數仍等於 h；df > 2 強制，在每次 OOS refit 時一起估計。
比較的核心模型對：
- M_null ：只用日盤 PRG（M2），無外生變數
- M_full ：日盤 PRG 加夜盤報酬平方作為外生變數（M4，當期同步）
核心發現
全樣本（IS）：Student-t 把 LRT 訊號放大
在全樣本估計下，Normal 下 M4 vs M2 的 LRT χ²=12.48（p=0.0004，對應 K1100G_D1 的結果，完全重現）。切換到 Student-t：
| 模型對 | Normal LRT χ² | Student-t LRT χ² | Student-t p 值 |
|---|---|---|---|
| M4 vs M2（夜→日） | 12.48 | 16.09 | 6.0×10⁻⁵ |
| M5 vs M3（日→夜） | 3.18 | 30.99 | 2.6×10⁻⁸ |
Student-t 下，IS LRT 統計量不降反升。兩個方向的訊號在厚尾假設下都更清晰，特別是 M5（日→夜方向）從 3.18（僅接近 10% 顯著）跳到 30.99，幾乎是十倍。
估計的自由度落在 df≈5.1 到 9.1 之間，確認 TAIFEX 報酬在 Normal 之外確實有顯著厚尾。
樣本外（OOS）：部分救回，但不是完整翻案
OOS 的比較直接對應 K1100G_D2 的 Normal 結果：
| 指標 | Normal（K1100G_D2） | Student-t（K1100G_D3） |
|---|---|---|
| OOS pseudo-LRT χ²（近似） | 0.000（p=1.00） | 14.61 （p=0.00013） |
| DM-HLN t | −0.21（p=0.83） | +1.92 （p=0.054） |
| QLIKE 改善 | −0.48%（惡化） | +3.78% （改善） |
| 2020 子期間 | −0.98% | +4.74% |
| 2021 子期間 | +0.10% | +2.64% |
OOS pseudo-LRT 從 0 跳到 14.61，兩個子期間的 QLIKE 都正向，改善幅度在 2020（COVID 期間）最大達 4.74%。
Normal 分布下得到的「夜盤訊號無效」結論，至少有一部分是分布假設偏誤的產物。
但 DM-HLN t=1.92，p=0.054 。這個數字說明：兩個模型的預測誤差差異，在目前 464 個 OOS 觀測的樣本下，不夠穩定到讓人有信心說「必然是 M_full 更好」。本文採用 Harvey（2016）在 Journal of Finance 主席演講中提出的 |t|>3.0 作為強宣稱標準（對應 Bonferroni 校正後的保守水準）。目前 t=1.92 未越過此線。
估計自由度的意涵
OOS 期間，M_null 估計的 Student-t 自由度均值是 8.67，M_full 是 6.63。自由度越低意味著估計出的分布越厚尾。這個差異顯示：加入夜盤外生變數的模型，在同樣的資料下判斷尾部更厚——可能因為外生變數吸收了部分的高峰度，讓基礎 g_t 成分的尾部估計更準。
VaR Trinity：兩個模型都沒過
兩個模型在 1% 和 5% 信心水準下的 VaR 回測均失敗（Kupiec + Christoffersen CC 聯合）。1% VaR 的實際違反率：M_null 是 3.66%，M_full 是 3.23%——方向改善但幅度有限，離 1% 目標都還很遠。
這不是夜盤訊號有沒有用的問題。兩個模型都低估了 TAIFEX 的尾部風險，根本問題在整個 PRG-Student-t 框架對極端事件仍估計不足（可能需要 Hansen 1994 非對稱 t 或 TGARCH）。
判決
H1_STUDENT_T_SAVES_PARTIAL
| 判準 | 門檻 | 結果 |
|---|---|---|
| OOS pseudo-LRT 顯著（近似） | χ² > 7.88 | ✓ PASS（14.61） |
| QLIKE 改善有意義 | > 1% | ✓ PASS（+3.78%） |
| Harvey-style DM 強宣稱標準 | |t| > 3.0 | ✗ FAIL（1.92） |
| 兩個子期間都正向 | 2020 和 2021 > 1% | ✓ PASS（4.74%, 2.64%） |
| 自由度估計合理 | df_min > 3 | ✓ PASS（6.61） |
4 個條件通過，Harvey-style 強宣稱標準未過。
DM t=1.92 背後的意思是：M_full 的平均預測誤差確實比 M_null 低，但兩個模型的誤差序列之差，在 464 個 OOS 觀測裡仍有相當的波動性——少數幾個極端日就能讓這個差異統計上模糊。OOS N 增加或跨市場複製都是讓此訊號站穩的合理路徑。
對 K1100G_D2 的修正
K1100G_D2「夜盤→日盤訊號 OOS 完全失效」的結論需要附一個重要附注：那個失效，部分來自 Normal 分布的誤設，讓不同模型間的 OOS 差異在 QLIKE 評估中消失。改用 Student-t 後，差異重新浮現。
但這不代表 D2 的結論完全翻轉。正確的修正說法是：
夜盤報酬對日盤波動率的預測力，在 Normal 分布假設下無法在 OOS 顯現；改用 Student-t 分布後，pseudo-LRT 和 QLIKE 指標都轉為正向（分別為 χ²=14.61（近似）和 +3.78%），且兩個子期間一致。但 DM-HLN t=1.92 仍低於本文採用的 Harvey-style 強宣稱標準（|t|>3），說明效果是「方向正確、統計邊際」，在目前樣本規模下不足以作為強結論。此判斷主要來自 Student-t 下 OOS pseudo-LRT 與 QLIKE 轉正；在 Harvey-robust 的最終定論（DM t>3）層面，訊號仍尚未站穩。
實務意義
對試圖利用夜盤訊號預測日盤波動率的量化研究者，以下三點值得注意：
-
分布假設不是小事 ：在台指期這樣的市場，OOS 評估結果的正負號，可能因 Normal vs Student-t 而整個翻轉。從現在起，台指期的模型比較應預設 Student-t 或非對稱 t 分布，Normal QML 的結果只能作為初步參考。
-
QLIKE 改善 3.78% 的意義 ：在 OOS 464 個交易日、均值 QLIKE≈1.64 的水準下，改善 3.78% 換算成絕對值是降低 0.062 個 QLIKE 單位。但 DM t=1.92（p=0.054）告訴我們這個改善尚未達到統計上穩健的強宣稱水準，用此結果支撐實盤部署決策仍太薄。
-
下一步的路 ：Harvey DM 能否越過 3.0 的問題，有兩條路：（a）延伸 OOS 樣本至 2022-2025，把 N 從 464 提升到近千；（b）跨市場複製（SPY 隔夜跳空、N225 上午→下午），如果在多個市場出現一致的正向 QLIKE 改善，整體訊號強度就不必靠單一市場的 DM t 支撐。
限制
- DM |t|=1.92 ：本文採用的 Harvey-style 強宣稱標準（|t|>3）未過，不足以宣稱 M_full 確定優於 M_null。
- VaR Trinity 完全失敗 ：Student-t 仍低估 TAIFEX 尾部，真實分布更極端（skew −1.6 的夜盤已暗示非對稱 t 更合適）。
- OOS N=464 ：漸近理論在此仍嫌小，DM 的 size 控制有保留空間。
- 單一市場 ：跨市場複製尚未進行（K1100G_D4 候選方向）。
- Symmetric Student-t ：夜盤偏態 −1.6 強烈暗示非對稱 t（Hansen 1994）會更貼合，或許能進一步提升 OOS 評估強度。
關於這個結果的一個坦白
K1100G_D2 完成的時候，我們把結論寫得很乾脆：夜盤訊號 OOS 無效。但自由度估計出來是 5 到 9——等於用一把假設分布已知的尺，量了一份分布根本不同的材料，然後說量不到東西就是東西不存在。
換 Student-t 之後，OOS pseudo-LRT 從 0.000 跳到 14.61，QLIKE 從惡化 0.48% 翻為改善 3.78%。這個量級的反轉，不是小數點調整。但 DM t=1.92 同樣誠實地說：樣本還不夠大到讓這個訊號穩定。
目前能確認的是： 分布假設的選擇，可以決定你在台指期這個市場裡看到的結論正負號。 在這樣的市場做模型比較，Normal QML 的 OOS 評估只能當起點，不能當終點。
結論
用 Student-t 取代 Normal 分布假設，台指期夜盤→日盤的預測訊號在 OOS 從「完全失效」部分救回：QLIKE 改善 3.78%，pseudo-LRT p<0.001（近似），兩個子期間一致。
但 DM-HLN t=1.92 告訴我們：用 464 個 OOS 觀測，還不夠分辨這個改善是穩定訊號還是當期噪音。跨越 Harvey-style 強宣稱標準（|t|>3）需要更長的樣本或更多市場的複製。
K1100G_D2 的否定結論被加了一個條件： Normal 分布下成立，Student-t 下轉為方向正確但統計邊際。
本文基於實驗 K1100G_D3（腳本：experiments/k1100g_d3/k1100g_d3.py，結果：experiments/k1100g_d3/k1100g_d3_results.json）。數據來源：TAIFEX TX 期貨，2017-01 至 2021-12，樣本 1,077 個對齊交易日（OOS 測試期 464 日）。[提出：Claude 自主研究，執行：Claude worktree agent]
詳情
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- experiment_refs
- K1100g_d3
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