門檻 ARMA 真的能打贏 GARCH 嗎？一場關於波動率預測的誠實檢驗

一句話結論

我們花了相當功夫，在 SPY 上實作了 Chen, Liu, Gerlach (2011) 提出的「門檻 ARMA（TARMA）」波動率模型，與經典的 GARCH 家族在十年資料上正面交鋒。最後得到的結論很樸實： TARMA 沒有顯著贏過 GARCH ，連最寬鬆的比較標準也過不了關。這是一篇關於「研究失敗」的文章——但失敗本身有它的價值。

為什麼要研究這件事？

波動率（volatility）是金融市場最重要、卻也最難預測的變數之一。它直接影響選擇權定價、風險值（VaR）計算、避險比率，以及投資組合的槓桿配置。學界主流的工具是 1980 年代由 Engle 和 Bollerslev 發展起來的 GARCH 家族，但 GARCH 也有自己的限制——它假設波動率的演化是「平滑遞移」的，遇到劇烈的 regime shift 時反應可能不夠快。

於是學者們陸續嘗試各種替代品。其中一條路徑是： 直接對「絕對報酬」|r_t| 建立 ARMA 模型 ，並允許參數在不同市場狀態下切換。這就是 TARMA（Threshold ARMA）。Chen, Liu, Gerlach 在 2011 年的論文中用 Bayesian Subset Selection 的方法，宣稱 TARMA 能捕捉 GARCH 遺漏的 MA 成分與非線性 regime 效應。

聽起來很有道理。所以我們決定動手驗證——在 SPY 這檔全世界流動性最好的 ETF 上，把 TARMA 與 GARCH 家族放在同一個競技場裡比一比。

實驗設計

樣本外橫跨 2016 到 2026，包含 2018 年的 Volmageddon、2020 年的 COVID 崩盤、2022 年的升息週期、2024-2025 年的 AI 行情，市場狀態的多樣性足以分辨真本事與運氣。

我們同時跑了 6 個模型：

1.  AR(5) ——基礎對照組，純自迴歸
2.  ARMA(2,1) ——加入移動平均成分
3.  TARMA(|r|) ——以前一日 |r_{t-1}| 為門檻變數，閾值取滾動中位數
4.  TARMA(VIX) ——以前一日 VIX 為門檻變數，閾值固定 20
5.  GJR(1,1,1) ——非對稱 GARCH，捕捉壞消息的放大效果
6.  MF-GJR(VIX) ——兩成分模型，σ² = τ(VIX) × g_t，把 VIX 當作長期波動率成分

所有預測都嚴格使用「t-1 之前的資訊預測 t」，沒有任何向前看（lookahead）的污染。隨機種子固定（seed=42）以利重現。

主結果：六個模型的成績單

下表是樣本外 2,577 天的核心評估指標。 MSE / MAE 越低越好 ； Spearman ρ 越高代表 ranking 能力越好 ； QLIKE 是 Patton (2011) 推薦的波動率專用損失函數，越低越好 。

幾個關鍵觀察：

 第一，TARMA 確實比 AR/ARMA 略好。  TARMA(|r|) 的 MSE 比 AR(5) 改善了約 2.7%，比 ARMA(2,1) 略好一點點。這顯示「regime 切換」這個直覺方向沒有錯——讓參數在高低波動環境下不一樣，確實能榨出一點點額外的訊息。

 第二，GJR(1,1,1) 在點預測上全面領先。  不論是 MSE 還是 MAE，GJR 都是最低。它比最好的 TARMA(|r|) 在 MSE 上又便宜了 5.8%。這個結果有點殘酷：GJR 早在 1993 年就提出，是個結構簡單到幾乎可以手算的模型，卻把 2011 年發表的 TARMA 在自家擅長的「直接建模 |r_t|」這條路上輾過去。

 第三，MF-GJR(VIX) 的 ranking 能力獨步全場。  雖然它的 MSE 不漂亮（甚至比 AR(5) 還差），但 Spearman ρ = 0.455 與 QLIKE = 1.590 都是最佳。這代表： 它可能高估或低估了波動率的絕對水準，但它把「哪些日子比較波動」的相對順序排得最對。  這在風險管理應用上其實非常有用——很多時候我們需要的是「今天比昨天危險嗎」而不是「今天波動率精確等於多少」。

統計強度檢驗：差異有沒有真的成立？

光看數字差距還不夠。我們用 兩模型比較顯著 框架做了兩模型比較檢定，並採用 嚴格統計 修正後的嚴格門檻（統計強度 > 3.0）作為「達顯著水準」的判準。

 關鍵發現：在 嚴格統計 嚴格統計檢驗門檻下，沒有任何一對模型的差距達到顯著水準。 

具體來說：

• TARMA(|r|) vs GJR(1,1,1)：DM 統計強度未達門檻，方向上 GJR 較佳
• TARMA(VIX) vs GJR(1,1,1)：未達門檻，方向上 GJR 較佳
• ARMA(2,1) vs GJR(1,1,1)：未達門檻，方向上 GJR 較佳
• TARMA(|r|) vs AR(5)：未達門檻，方向上 TARMA 較佳

換句話說， 雖然點估計上 GJR 看起來最好，但這個「最好」並沒有強到我們可以拍胸脯保證它在下一個十年還是最好 。模型之間的差距，落在統計雜訊的合理範圍內。

這是一個很重要的誠實聲明。在波動率預測這個領域，許多論文宣稱自己的新方法擊敗 GARCH，但若認真用 嚴格統計 門檻檢驗，往往不過關。我們的這個 null result 是這個學術現象的又一個例證。

Regime 分析：TARMA 的長處與短處

雖然整體表現沒贏過 GJR，TARMA(VIX) 在不同 regime 下的表現仍透露一些訊息：

低波動環境下，TARMA(VIX) 的誤差比整體平均小一個數量級。但在高波動環境下，誤差大幅放大——而高波動正是我們最需要準確預測的時候。

這個 pattern 暗示了一件事： TARMA 的門檻切換機制在「平靜的市場」效果不錯，但在「真正動盪」的時候，反而是 GJR 那種具有 variance recursion 結構的模型更穩健。  GARCH 的優勢在於它有一個內建的「記憶」，能讓昨天的衝擊持續影響今天的預測；TARMA 的兩段式 ARMA 切換相對來說是更「短記憶」的。

為什麼這個失敗有價值？

讀者可能會問：既然結論是 TARMA 沒贏，那為什麼還要花一整個實驗去做、還要寫一篇文章告訴大家？

答案有三個。

 第一，研究誠實原則。  在這個平台上，我們承諾每一個 K 編號的實驗結果都會誠實公佈，不論結果好壞。學術界長期存在「發表偏誤」（publication bias）——成功的方法被發表、失敗的方法被埋葬，導致後人誤以為某個方向「應該可行」，於是重複踩同樣的雷。把 null result 公開，本身就是對研究社群的貢獻。

 第二，方法論層面的釐清。  這個實驗回答了一個具體的問題： 「直接對 |r_t| 建模的 ARMA 路徑，是否優於間接的 GARCH → |r| 轉換路徑？」  答案是否定的。GARCH 雖然建模 σ² 而不是 |r|，但透過 σ × √(2/π) 換算回 |r| 後，仍然在點預測上更精確。這暗示了 variance recursion 結構的訊息密度高於 |r| 的 ARMA 演化。

 第三，給 MF-GJR(VIX) 一個亮點。  這個實驗的副產品是發現 MF-GJR(VIX) 在 ranking 能力上的領先優勢。對於需要「相對風險排序」的應用（例如：哪些日子應該降低槓桿、哪些日子適合進場），MF-GJR(VIX) 可能是一個比點預測導向的 GJR 更好的選擇。這條線將在後續實驗中持續追蹤。

對讀者的實務啟發

如果你是個人投資者或風險管理者，這篇文章帶給你三個 takeaway：

1.  不要被新方法的論文嚇住。  經典模型（GJR-GARCH）經得起時間考驗；新方法即使在頂級期刊發表，也未必在你關心的市場、你關心的時間段、你關心的指標上贏。
2.  要分清「點預測」與「ranking 預測」的需求差異。  前者問「波動率是多少」，後者問「哪一天比較危險」。不同的需求，最佳模型可能不同。
3.  嚴格統計檢驗是必要的紀律。  兩個模型 MSE 差個 5%，看起來像贏了；但若用 嚴格統計 門檻檢驗，可能根本連顯著都不到。沒有顯著性的「贏」，未必能複製到下一個十年。

後續方向

這次實驗指出幾條值得追的線索：

•  MF-GJR 的 ranking 優勢能否轉化為策略 alpha？  如果它能正確排序「哪天危險」，那麼在 VT（volatility targeting）或槓桿動態調整上應該有實際效益。
•  TARMA 是否在其他資產上表現不同？  SPY 的市場效率極高，可能不利於 TARMA 這類捕捉 regime 切換的模型；新興市場、加密貨幣或商品類資產或許是更合適的舞台。
•  能否將 TARMA 的 regime 切換邏輯與 GARCH 的 variance recursion 混合？  例如「regime-dependent GJR」。這是個自然的下一步研究方向。

資料來源

•  價格資料 ：yfinance（SPY、^VIX），抓取期間 2004-01-05 ~ 2026-04-02
•  樣本外評估期間 ：2016-01-04 ~ 2026-04-02，共 2,577 個交易日
•  完整實驗檔案 ：experiments/k952/（含 README、Python 腳本、結果 JSON、比較圖）
•  實驗編號 ：K952
•  隨機種子 ：seed=42（重抽樣與模型估計皆已固定）

參考文獻

• Chen, C. W. S., Liu, F. C., & Gerlach, R. (2011). Bayesian Subset Selection for Threshold Autoregressive Moving-Average Models. Computational Statistics, 26(1), 1-30.
• Patton, A. J. (2011). Volatility forecast comparison using imperfect volatility proxies. Journal of Econometrics, 160(1), 246-256.
• Glosten, L. R., Jagannathan, R., & Runkle, D. E. (1993). On the Relation between the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks. Journal of Finance, 48(5), 1779-1801.
• Diebold, F. X., & Mariano, R. S. (1995). Comparing Predictive Accuracy. Journal of Business & Economic Statistics, 13(3), 253-263.
• 嚴格統計, D., Leybourne, S., & Newbold, P. (1997). Testing the equality of prediction mean squared errors. International Journal of Forecasting, 13(2), 281-291.