把實作 bug 修掉之後，MF2-GARCH 真的贏了 GJR——但 25% 收斂率讓這場勝利打了折

一句話結論

我們在 K621 跑了一版 MF2-GARCH（一個被 2025 年 Journal of Applied Econometrics 介紹、把波動率拆成「短週期」與「長週期」兩塊的新模型），表面上有點優勢；但 Codex 代碼審查抓出三個實作層級的 bug，等於 那一版的數字本來就不該採信 。K623 是把三個 bug 全部修正後的重估版，結論有兩面： 好消息是 ——在 SPY 美股 2023–2024 兩年的樣本外測試中，修正版 MF2-GARCH 在波動率預測的標準損失函數（QLIKE）上， 真的小幅勝過  GJR-GARCH（1.503 vs 1.530），而且這個差距達到了統計上的兩模型比較顯著水準。 壞消息是 ——這個模型在重複再估計的過程中， 24 次裡只有 6 次（25%）真正收斂 ，剩下 75% 都是用前一次的參數硬撐下去。所以雖然數字贏了，但這個贏法 離「可以放心上線」還有一段距離 ——這是一個「方法論成立、但工程穩定性不足」的中間結果，本文會誠實寫清楚兩面。

故事的起點：為什麼會想做這個模型？

GARCH 家族的模型在波動率預測這個領域已經被研究 30 多年。最常被當作 baseline 的  GJR-GARCH  加入了「壞消息對波動衝擊比好消息大」的不對稱效應，這一點抓得相當好。但 GJR 有一個結構上的限制—— 它只用一條方程式 處理波動，把「今天的盤中震盪」和「整個牛熊週期的長期變動」 揉在同一個 persistence 參數裡 。

直觀上這不太合理。市場的高波動其實有兩種來源：

•  短週期 ——某些天剛好新聞多、籌碼鬆動、盤中跳動大，但這種能量幾天就消散
•  長週期 ——景氣循環、信用週期、政策環境改變帶來的「整段時期都比較波動」的常態漂移

如果用同一條方程式抓兩件事，模型估出來的 persistence 參數通常會被拉到接近 1（IGARCH 邊界），長期預測就變成「過去高波動會無限延續」——這顯然不真實。

Conrad & Engle 在 2025 年發表的  MF2-GARCH（Multiplicative Factor 2-component GARCH）  就是針對這件事提出的解法。它把總波動率拆成兩塊乘起來：

總變異 h_t = g_t（短週期成分）× τ_t（長週期成分）

這樣一來：

• 短週期 g_t 是一個 單位均值 的 GJR 結構，專門抓「相對於長期水準的瞬時偏離」
• 長週期 τ_t 是一個 MEM filter，輸入是過去 m 天的「標準化波動」滾動平均，專門抓「長期水準本身的緩慢移動」

 理論很漂亮 ，論文上也展示了在多個資產上 QLIKE 改善的證據。所以 K621 試圖把它端到端複製出來。

K621 的失敗——以及 Codex 為什麼救了我們

K621 跑出來的結果其實 看起來還不錯 ，但代碼進到 Codex 審查階段時被點出了 三個 HIGH 等級的 bug ：

1.  短週期方程式寫錯了  — 原本實作的 g_t 變成了標準的 GJR-GARCH（吃原始報酬平方、有自由 omega 參數），但這違反 Conrad & Engle 設計的「g_t 必須是單位均值、無量綱」約束。正確版本是吃 r²/τ（標準化後的訊號）、且截距項要被約束為 (1 − α − γ/2 − β)，沒有 omega 自由度。
2.  V_t 的分母用錯了  — V_t（餵給長週期 filter 的那個量）原本被算成 ε²/σ²，但 σ² 是中間量、不是模型完整變異。正確版本必須用 V_t = (r − μ)²/(g_t × τ_t)，也就是 用兩個成分相乘的完整變異 做分母。
3.  BIC 比較不公平  — 原本 K621 對不同 m 候選值（22、44、66、126、252）做 BIC 比較時， 有效樣本數會跟著 m 變化 ——大 m 等於丟掉更多前期資料、樣本更小。這樣的 BIC 不能直接比。正確版本是 所有 m 都用相同 burn-in（max(m_candidates) = 252） ，把所有候選 m 拉到同一條起跑線再比較。

這三個 bug 任一個都足以讓 K621 的數字失去意義。所以 K623 從頭重寫一遍，三個都修掉，然後重跑。

這也是「先讓 Codex 審代碼、再信結果」這條規範的具體案例——很多時候模型在紙上對、但實作層級錯掉一個小細節，整個結論就站不住。

K623 修正後的數字

樣本：SPY，2006-01-01 到 2026-03-27，共 5,088 個交易日。
樣本外（OOS）測試：2023-01-01 到 2024-12-31，共 502 個交易日。
估計窗口 2,000 天，每 21 個交易日重新估計一次。
比較對象：GJR-GARCH（baseline）、MF2-GARCH（修正版）、EWMA（簡單對照）。

主要損失函數：QLIKE

QLIKE 是波動率預測領域 首選 的損失函數——對於用「報酬平方」當代理變數的 noisy 波動率代理量來說，QLIKE 的排序穩定性遠勝 MSE。

 MF2-GARCH 是 QLIKE 維度的贏家 ，且兩個對照組都通過嚴格統計檢驗門檻。

對照損失函數：MSE

MSE 的排序剛好顛倒——EWMA 反而最低。這個現象在波動率預測文獻很常見：MSE 對極端日（高波動 outlier）過度敏感，而 EWMA 因為「平滑而保守」的本性會在 MSE 上佔便宜，但平時的預測力其實偏弱。所以 主結論看 QLIKE，不看 MSE ——這是 Patton (2011) 那條經典守則。

那「打折」在哪裡？——25% 收斂率

把上面的數字單獨拿出來，會以為這是個漂亮的勝利。但 K623 有一個 不能掩蓋的工程問題 ：

在 OOS 期間總共 24 次重新估計中，MF2-GARCH 只有  6 次（25%）真正收斂到 numerical optimizer 接受的 stationary point 。

剩下 18 次（75%）optimizer 都沒能達到收斂條件，模型只能 fall back 用前一次估到的參數繼續往前推。從 results JSON 看 mf2_params_log 也佐證——5 次有紀錄的成功估計，參數高度一致（α≈0.058、γ≈0.247、β≈0.760、λ₃≈0.959），這表示 模型在能收斂的時候是穩的 ；但「能收斂的時候」不是大多數時候，這是嚴重的工程缺口。

這意味著什麼？

•  學術角度 ：模型在「狀態穩定」時表現可接受，QLIKE 改善是真的，這個發現可以寫進方法論討論。
•  實務角度 ：要把這個模型放到生產環境（每天自動跑、自動下單） 還不行 ——因為 25% 收斂率代表 75% 的時候你不知道參數有沒有飄掉 ，下游風險管理沒法依賴。
•  未來方向 ：這個結果指出 問題不在模型本身，在 numerical optimization 的初值與設定 。後續實驗（K970 等）已經改用 VIX 當作外生 τ 訊號繞開這個 numerical bottleneck，初步看來收斂率大幅改善，QLIKE 改善幅度也更穩定。

兩個附加觀察

觀察 1：MF2 和 GJR 的預測 走勢非常像 

MF2 與 GJR 的 OOS 預測序列 相關係數 0.986 ——肉眼幾乎重合。這代表 MF2 的勝出 不是來自「在哪些日子預測完全不同」 ，而是來自「在大部分日子上微幅偏好較高/較低」這種 邊際差異累積 。

這也呼應我們先前 K970 系列的觀察：MF2 的長週期 τ 通常變動很慢（K623 中 τ 跨 refit 標準差只有 0.005，幾乎不動），所以 短期的 g_t 才是真正在做工 。換句話說，「兩成分分解」這個架構 目前仍未發揮預想的長週期 alpha 。

觀察 2：最佳 m = 66 對應的是約 3 個月

在 [22, 44, 66, 126, 252] 這幾個候選裡，BIC 選出  m = 66 ——對應大約  3 個月  的長週期記憶長度。

這個結果有方法論意義：m = 22（一個月）太短、m = 252（一年）太長，最佳的「長週期」其實落在 中段 ——3 個月的滾動平均剛好夠濾掉日波動雜訊、又不會過度平滑。這也跟 Conrad & Engle 原論文在多個美股資產上選出 m ≈ 60–80 的範圍一致。

誠實的整體判定

把這些湊在一起的判定是：

換句話說： 這是一個有貢獻的 null-leaning result。  我們確實複製出了 Conrad & Engle 2025 的部分發現（QLIKE 維度勝出），但同時揭露了「直接照論文 spec 實作」會撞上的 numerical bottleneck（收斂率）。後續方向是用 K970 那套「VIX 做 τ 的代理訊號」繞過 numerical 問題，把整個架構推進到能上線的階段。

為什麼這篇值得一讀？

讀者大多時候只看到「某模型贏了某模型」這種乾淨的標題；但實際的研究過程 從來不乾淨 ：

• K621 看起來贏了，但 bug 撤回
• K623 修完 bug 真的贏了，但工程上不穩定
• K970 才開始走向「可上線」

把這個過程寫出來，比直接報「MF2 在 SPY 上 QLIKE 改善 1.8%」更接近研究實況——也更有助於讀者判斷 什麼時候該信數字、什麼時候該打折扣 。

我們認為這種「中間態誠實報告」是這個平台願意持續做的——比起永遠端出「完美勝利」， 揭露收斂率這類工程缺口、把每一個 caveat 寫清楚 ，才是研究真正能累積信任的方式。

資料來源

•  市場資料 ：yfinance 提供的 SPY ETF 日線收盤價，期間 2006-01-01 至 2026-03-27（共 5,088 觀察值）
•  波動率代理量 ：日報酬率平方（r²，百分比尺度）
•  樣本外期間 ：2023-01-01 至 2024-12-31（共 502 觀察值）
•  估計設定 ：rolling window = 2,000 天、每 21 交易日重估、共 24 次 refit
•  比較對象 ：GJR-GARCH（arch 套件實作）、EWMA（λ = 0.94，RiskMetrics 標準）
•  參考文獻 ：Conrad, C. & Engle, R. F. (2025). Modelling Volatility Cycles: The MF2-GARCH Model. Journal of Applied Econometrics, 40(4), 438–454.
•  實驗代碼與完整 results ：本平台 K623 實驗目錄
•  修正脈絡 ：本實驗修正了 K621 由 Codex code review 識別的三個 HIGH 等級實作 bug（短週期方程式形式、V_t 分母、BIC burn-in 統一），詳見實驗 README

本研究記錄於 K623。後續方向見 K970 系列（用 VIX 做 τ 代理訊號繞開 numerical bottleneck）。