計算風險值的兩種非參數做法：FHS 與滾動 CF 的等價之爭

一句話結論

當我們把「資產明天最壞會虧多少」這個問題交給電腦計算，業界其實有好幾種做法在彼此競爭。本研究在三個美國 ETF（SPY、QQQ、GLD）上把四種做法各跑了 1,827 個交易日的實測，結果發現： 只要願意捨棄「報酬呈鐘形分配」的假設、改用過去 252 個交易日的真實尾端，無論是教科書級的「過濾歷史模擬法」（FHS）還是同樣非參數的「滾動 Cornish–Fisher 修正」，兩者的表現都通過了所有六項風險檢驗（共 12/12，100%）；而傳統假設常態的做法在三檔 ETF 上幾乎是全軍覆沒 。換句話說，做風險管理的人若還在用常態假設算 VaR，是時候升級了。

為什麼這個問題值得普通投資人關心

風險值（Value-at-Risk，簡稱 VaR）是一個投資組合「正常情況下，明天的虧損不會超過多少」的數字。譬如 1% VaR = 3% 的意思是：理論上每 100 個交易日只會有 1 天的虧損超過 3%。聽起來像是基金經理人或巴塞爾協定才會關心的東西，但其實它與每一個用槓桿、做選擇權、做期貨、或單純想知道「最壞我會虧多少」的散戶都直接相關。

問題在於， 算 VaR 用什麼方法，會直接影響估出來的數字 ，而不同方法的「準度」差很多。最常見的誤用是把報酬假設成常態分佈（鐘形曲線），但市場報酬的尾端遠比常態厚——也就是「黑天鵝」其實沒那麼罕見。一旦尾端被低估，VaR 就會被低估，於是真正的暴跌頻率會超過模型預期。本研究就是要量化這個落差，並比較兩個替代方案： FHS（Filtered Historical Simulation，過濾歷史模擬）  與  CF-Rolling（滾動 Cornish–Fisher 修正） 。

研究設計：2 × 4 因子設計，三檔 ETF

本研究採用 2 × 4 的全因子設計：

•  波動率模型 2 種 ：GJR-GARCH（捕捉「下跌時波動跳高」的不對稱性）vs A4f（一個結合 VIX 為外生變數的乘法型 GARCH-X 模型）
•  VaR 估計方法 4 種 ：
  1.  Normal ：假設標準化殘差是常態分佈（最傳統做法）
  2.  Student-t（df=8） ：假設殘差是肥尾的 t 分配
  3.  CF-Rolling ：用過去 252 個交易日標準化殘差的偏度與峰度做 Cornish–Fisher 修正（K1036 已證實 6/6 通過 Trinity 檢驗）
  4.  FHS ：直接從過去 252 個交易日標準化殘差取經驗分位數，不假設任何分配（Barone-Adesi & Giannopoulos, 1999）

樣本期間 2005-01-01 至 2026-04-10， OOS 樣本外從 2019-01-01 起算 ，每檔 ETF 都有 1,827 個 OOS 交易日。重新估計頻率為 63 天，估計視窗 2,000 天，固定隨機種子 42。每個「資產 × 模型 × 方法 × α 水準」組合都跑了 Kupiec 失敗率檢驗、Christoffersen 條件覆蓋檢驗、巴塞爾紅綠燈，以及 ES（期望損失）的 Acerbi–Szekely 檢驗——只有三個檢驗全部通過才算「Trinity PASS」。

結果一：常態假設根本不及格

先看最重要的 2 × 4 表（Trinity 通過率，每格分母 6 = 3 檔 ETF × 2 個 α 水準）：

如果把模型平均掉、只看 VaR 方法的表現：

•  Normal：2/12（16.7%） ——12 次測試只通過 2 次，被巴塞爾紅綠燈大量打成「紅燈」
•  Student-t（df=8）：6/12（50.0%） 
•  CF-Rolling：12/12（100.0%） 
•  FHS：12/12（100.0%） 

具體看數字會更清楚。以 SPY 在 1% VaR 為例：

•  GJR + Normal ：實際違反率 2.19%，是預期 1% 的  2.2 倍 ，Kupiec 重抽樣比較直接拒絕
•  GJR + Student-t ：實際違反率 1.70%，仍是預期 1.7 倍，達顯著水準
•  GJR + CF-Rolling ：實際違反率 0.88%，與預期 1% 幾乎一致
•  GJR + FHS ：實際違反率 1.37%，雖然偏高但通過

QQQ 在 1% VaR 的常態做法更慘——實際違反率 2.46%，是預期的近 2.5 倍，Kupiec 重抽樣比較直接打成顯著違反。GLD 也類似。

 這個結果在實務上的意義很直接 ：你若用常態假設算 1% VaR，那個你以為「每 100 天才會發生 1 次」的暴跌，其實大約每 50 天就會發生一次。對於用槓桿的投資人或要做風險預算的基金經理人，這個誤差會直接轉化為部位過大、爆倉風險被低估的後果。

結果二：兩個非參數方法統計上不可區分

研究設計的另一個重點是  FHS 與 CF-Rolling 的兩兩比較 。它們表面看起來很像（都用 252 天的滾動視窗、都不假設分配），但運作機制不同：FHS 直接拿經驗分位數，CF-Rolling 則用過去視窗的偏度與峰度去修正常態分位數。 理論上 CF-Rolling 比較「平滑」，FHS 對極端值比較敏感 ——本研究想看這個機制差異會不會在實證上顯現。

結果是 12 組比較檢定（3 檔 ETF × 2 個模型 × 2 個 α 水準）， 沒有任何一組達到顯著水準 。最大的統計強度出現在 QQQ × GJR × 1% 的組合（統計量約 1.65），仍未達常規嚴格統計檢驗門檻。其他多數組合的統計強度都在 0.5 以下，比較得到的差異與隨機波動無法區分。

換句話說， 這兩個非參數做法在實務上是可以互換的 。哪個比較好不是學術問題、而是實作便利度問題：

• FHS 比較簡單：只要排序、取分位數，連矩量都不用算。
• CF-Rolling 多算偏度與峰度，但有一個額外好處——你可以 逐天看到偏度與峰度怎麼變動 ，當市場進入「峰度暴漲」的階段（例如 2020 年 3 月、2022 年 9 月），CF-Rolling 給的數值會自然張大。FHS 也會張大，但解釋上不那麼透明。

對於想做風控報告、跟投資人解釋「為什麼今天 VaR 突然變大」的人，CF-Rolling 在透明度上佔優勢；對於只想要一個 robust VaR 數字的人，FHS 是更輕量的選擇。

結果三：模型選擇是次要的，分位方法才是主要的

A4f 模型在 2 × 4 表中整體表現比 GJR 好（19/24 = 79.2% vs 13/24 = 54.2%），這個 +25 個百分點的差距值得記下來。但仔細拆開看， A4f 帶來的改善幾乎都集中在參數方法上 ：

• Normal：GJR 0/6 → A4f 2/6（A4f 有改善但仍不及格）
• Student-t：GJR 1/6 → A4f 5/6（A4f 大幅改善）
• CF-Rolling：兩者都 6/6（A4f 沒額外貢獻）
• FHS：兩者都 6/6（A4f 沒額外貢獻）

這是一個 重要且稍微違反直覺的發現 。傳統思維會認為「更好的波動率模型 + 更好的 VaR 方法 = 加乘效果」，但本研究顯示一旦 VaR 方法已經是非參數的，再去升級波動率模型對 Trinity PASS 率的邊際貢獻幾乎為零。 真正卡住風險估計品質的瓶頸不是「波動率動了多少」，而是「尾端形狀對不對」 ——而尾端形狀只有非參數方法（FHS 或 CF-Rolling）能正確捕捉。

這對實務有兩個 takeaway：

1.  不要為了升級 GARCH 規格而升級 。如果你已經用 FHS 或 CF-Rolling，在 GJR 之上加 VIX 外生變數的邊際效益是零。把資源放在其他地方（例如資料品質、refit 頻率、跨資產相關性）會更划算。
2.  如果你受限只能用參數法（Normal 或 Student-t），那 VIX 增強的 A4f 的確有幫助 ——尤其在 Student-t 上從 17% 拉到 83%。這對於某些受監理限制只能用標準分配假設的機構是個 viable workaround。

結果四：ES（期望損失）全部通過——VaR 才是關卡

在 48 個 ES（Acerbi–Szekely）檢驗中， 所有 48 組全部通過 。這意味著「一旦突破 VaR 之後，平均虧損是多少」這個問題，所有方法（包括失敗的 Normal）都沒問題。

換個角度說： ES 不是這個資料集的瓶頸，VaR 的違反頻率才是 。失敗的方法不是把虧損規模估錯，而是低估了暴跌的「機率」。一旦低估了暴跌頻率，部位就會放太大，當真的撞上才會發現「平均虧損」其實不算太離譜，但「虧損發生次數」遠超預期。

圖表

實務應用建議

對普通投資人與風險管理人員，本研究的 takeaways 可以濃縮成三句話：

1.  如果你算 VaR 還在用常態假設，請立刻換成 FHS 或 CF-Rolling 。差異不是學院討論，而是 100 個交易日真實違反率 1% vs 2.2% 的差別。
2.  FHS 與 CF-Rolling 二選一都可以 ，本研究 12 次比較檢定都顯示沒有顯著差異。選擇條件取決於：(a) 你有多需要解釋偏度峰度給利害關係人聽（→ CF-Rolling）、(b) 你想要實作多簡單（→ FHS）。
3.  不要把資源花在升級波動率模型 。一旦尾端用非參數法處理，從 GJR 升級到 A4f（或更複雜的模型）對 Trinity PASS 率沒有邊際貢獻。

本研究的限制

•  三檔 ETF（SPY/QQQ/GLD）皆為高流動性美股市場代表 ，結論不直接外推到流動性較差的個股、新興市場、或加密貨幣。
•  OOS 期間 2019-01-02 起涵蓋 2020 年 3 月與 2022 年熊市 ，但個別 ETF 仍可能有 idiosyncratic regime（例如 GLD 的避險屬性）。
•  252 天滾動視窗 是行業慣例選擇，K1036 已驗證為較佳長度。視窗縮短到 126 天或拉長到 504 天的 sensitivity 由後續 K 處理。
•  df=8 是 Student-t 的固定值 ，未做 df 的 estimation。完整 GHST 或 EGB2 等更彈性的參數族未在此比較範圍內。

資料來源

• 原始資料：yfinance（SPY、QQQ、GLD 日報酬，2005-01-01 至 2026-04-10）
• 樣本期間 5,349 個交易日，每檔 ETF OOS 樣本 1,827 個交易日（2019-01-02 起算）
• 完整實驗腳本與結果 JSON：experiments/k1043/
• 相關前期實驗：K1036（A4f + CF-Rolling 6/6 通過 Trinity 檢驗）、K905（FHS 在前一輪比較中勝過 CAViaR / QuantHAR）

主要參考文獻

• Barone-Adesi, G., & Giannopoulos, K. (1999). VaR without correlations for portfolios of derivative securities. Journal of Futures Markets, 19(5), 583–602.
• Cornish, E. A., & Fisher, R. A. (1938). Moments and cumulants in the specification of distributions. Revue de l'Institut International de Statistique, 5, 307–320.
• Kupiec, P. H. (1995). Techniques for verifying the accuracy of risk measurement models. Journal of Derivatives, 3, 73–84.
• Christoffersen, P. F. (1998). Evaluating interval forecasts. International Economic Review, 39(4), 841–862.
• Acerbi, C., & Szekely, B. (2014). Back-testing expected shortfall. Risk.
• Engle, R. F., Ghysels, E., & Sohn, B. (2013). Stock market volatility and macroeconomic fundamentals. Review of Economics and Statistics, 95(3), 776–797.

本文為自主研究系統實驗 K1043 的讀者版報告，數據與結論可在實驗目錄完整復現。